Номер 7.7, страница 60 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 7. Степенная функция с целым показателем. Глава 2. Степенная функция - номер 7.7, страница 60.

7.7. Найдите область определения функции:

1) $y = (x^{-1})^{-1}$;

2) $y = ((x - 2)^{-2})^{-2}$.

1) $y = (x^{-1})^{-1}$

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$, при которых выражение, определяющее функцию, имеет смысл. Данная функция является сложной, поэтому мы должны учесть ограничения на каждом шаге вычисления.

Шаг 1: Вычисление внутреннего выражения $x^{-1}$.
Выражение $x^{-1}$ эквивалентно $\frac{1}{x}$. Оно определено только в том случае, если знаменатель не равен нулю, то есть $x \neq 0$.

Шаг 2: Вычисление внешнего выражения $(\dots)^{-1}$.
Чтобы возвести выражение $x^{-1}$ в степень $-1$, необходимо, чтобы само это выражение не было равно нулю. Проверим, может ли $x^{-1}$ равняться нулю:
$x^{-1} = 0 \implies \frac{1}{x} = 0$.
Это уравнение не имеет решений, так как дробь равна нулю только тогда, когда ее числитель равен нулю, а он равен 1.

Таким образом, единственное ограничение, которое необходимо учесть, это $x \neq 0$.
Важно отметить, что хотя функцию можно упростить до $y = (x^{-1})^{-1} = x^{(-1)\cdot(-1)} = x$, область определения всегда находится для исходной, неупрощенной формы функции. В исходной форме при $x=0$ первое же действие ($x^{-1}$) невыполнимо.

Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, кроме $0$.
Ответ: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2) $y = ((x - 2)^{-2})^{-2}$

Для нахождения области определения этой сложной функции рассмотрим все возможные ограничения.

Шаг 1: Вычисление внутреннего выражения $(x - 2)^{-2}$.
Это выражение можно записать в виде дроби: $\frac{1}{(x-2)^2}$. Оно будет определено, если его знаменатель не обращается в ноль:
$(x - 2)^2 \neq 0$
$x - 2 \neq 0$
$x \neq 2$

Шаг 2: Вычисление внешнего выражения $(\dots)^{-2}$.
Чтобы возвести в степень $-2$ результат предыдущего шага, то есть выражение $(x - 2)^{-2}$, нужно, чтобы это выражение не было равно нулю. Проверим это условие:
$(x - 2)^{-2} = 0 \implies \frac{1}{(x-2)^2} = 0$.
Это уравнение не имеет решений, так как числитель дроби равен 1 и не может быть равен нулю.

Таким образом, единственным ограничением для области определения исходной функции является $x \neq 2$.
Хотя данное выражение можно упростить: $y = ((x - 2)^{-2})^{-2} = (x - 2)^{(-2)\cdot(-2)} = (x - 2)^4$, область определения функции $y = (x-2)^4$ — это все действительные числа, но мы должны исходить из первоначальной записи. В ней при $x=2$ становится невозможным вычисление выражения $(x-2)^{-2}$.

Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, кроме $2$.
Ответ: $D(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.