Номер 7.2, страница 59 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

7.2. Проходит ли график функции $y = x^{-5}$ через точку:

1) $A (0; 0);$

2) $B (-1; -1);$

3) $C \left(\frac{1}{2}; 32\right);$

4) $D \left(-3; -\frac{1}{243}\right)?$

Для того чтобы определить, проходит ли график функции $y = x^{-5}$ через заданную точку, необходимо подставить координаты точки $(x_0; y_0)$ в уравнение функции. Если в результате подстановки получается верное равенство $y_0 = x_0^{-5}$, то точка принадлежит графику функции.

Функцию $y = x^{-5}$ можно также записать в виде $y = \frac{1}{x^5}$.

1) A (0; 0)

Подставим координаты точки A в уравнение функции, где $x = 0$ и $y = 0$.

$y = 0^{-5}$

Преобразуем выражение с отрицательной степенью: $0^{-5} = \frac{1}{0^5} = \frac{1}{0}$.

Деление на ноль в математике не определено. Это означает, что функция не существует при $x = 0$. Следовательно, график функции не может проходить через точку с абсциссой 0, включая точку A(0; 0).

Ответ: не проходит.

2) B (-1; -1)

Подставим координаты точки B в уравнение функции, где $x = -1$ и $y = -1$.

$-1 = (-1)^{-5}$

Вычислим правую часть равенства: $(-1)^{-5} = \frac{1}{(-1)^5} = \frac{1}{-1} = -1$.

Мы получили верное равенство: $-1 = -1$. Это означает, что точка B(-1; -1) принадлежит графику функции.

Ответ: проходит.

3) C ($\frac{1}{2}$; 32)

Подставим координаты точки C в уравнение функции, где $x = \frac{1}{2}$ и $y = 32$.

$32 = (\frac{1}{2})^{-5}$

Вычислим правую часть равенства, используя свойство отрицательной степени $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:

$(\frac{1}{2})^{-5} = (\frac{2}{1})^5 = 2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$.

Мы получили верное равенство: $32 = 32$. Это означает, что точка C($\frac{1}{2}$; 32) принадлежит графику функции.

Ответ: проходит.

4) D (–3; –$\frac{1}{243}$)

Подставим координаты точки D в уравнение функции, где $x = -3$ и $y = -\frac{1}{243}$.

$-\frac{1}{243} = (-3)^{-5}$

Вычислим правую часть равенства: $(-3)^{-5} = \frac{1}{(-3)^5}$.

Найдем значение $(-3)^5$: $(-3)^5 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -243$.

Тогда правая часть равна $\frac{1}{-243} = -\frac{1}{243}$.

Мы получили верное равенство: $-\frac{1}{243} = -\frac{1}{243}$. Это означает, что точка D(–3; –$\frac{1}{243}$) принадлежит графику функции.

Ответ: проходит.