Номер 4, страница 59 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

4. Изобразите схематически график функции $y = x^{-n}$, $n \in N$.

Для построения схематического графика функции $y = x^{-n}$, где $n \in \mathbb{N}$, необходимо рассмотреть два случая в зависимости от четности показателя $n$. Функцию можно переписать в виде $y = \frac{1}{x^n}$.

Случай 1: $n$ — нечетное натуральное число

В этом случае $n$ принимает значения $1, 3, 5, \dots$. Примерами таких функций являются $y = x^{-1} = \frac{1}{x}$, $y = x^{-3} = \frac{1}{x^3}$ и так далее. Все они обладают схожими свойствами.

• Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, так как знаменатель не может быть равен нулю.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Четность: Функция является нечетной, так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = \frac{1}{(-x)^n} = \frac{1}{-x^n} = -y(x)$ (поскольку $n$ нечетное). График функции симметричен относительно начала координат.
• Асимптоты: Прямая $x=0$ (ось $Oy$) является вертикальной асимптотой. Прямая $y=0$ (ось $Ox$) является горизонтальной асимптотой.
• Ключевые точки: График всегда проходит через точки $(1, 1)$, так как $y(1) = 1^{-n} = 1$, и $(-1, -1)$, так как $y(-1) = (-1)^{-n} = -1$.

Схематически график представляет собой гиперболу, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях.

Ответ: Если $n$ — нечетное натуральное число, график функции $y=x^{-n}$ представляет собой гиперболу с ветвями в I и III координатных четвертях, симметричную относительно начала координат. Оси координат являются асимптотами графика. График проходит через точки $(1, 1)$ и $(-1, -1)$.

Случай 2: $n$ — четное натуральное число

В этом случае $n$ принимает значения $2, 4, 6, \dots$. Примерами таких функций являются $y = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$, $y = x^{-4} = \frac{1}{x^4}$ и так далее.

• Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, так как знаменатель не может быть равен нулю.
• Область значений: $E(y) = (0; +\infty)$, так как $x^n > 0$ для любого $x \neq 0$ при четном $n$.
• Четность: Функция является четной, так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = \frac{1}{(-x)^n} = \frac{1}{x^n} = y(x)$ (поскольку $n$ четное). График функции симметричен относительно оси ординат ($Oy$).
• Асимптоты: Прямая $x=0$ (ось $Oy$) является вертикальной асимптотой. Прямая $y=0$ (ось $Ox$) является горизонтальной асимптотой.
• Ключевые точки: График всегда проходит через точки $(1, 1)$, так как $y(1) = 1^{-n} = 1$, и $(-1, 1)$, так как $y(-1) = (-1)^{-n} = 1$.

Схематически график состоит из двух ветвей, расположенных в I и II координатных четвертях.

Ответ: Если $n$ — четное натуральное число, график функции $y=x^{-n}$ состоит из двух ветвей в I и II координатных четвертях, симметричных относительно оси $Oy$. Оси координат являются асимптотами графика. График проходит через точки $(1, 1)$ и $(-1, 1)$.