Номер 6.20, страница 55 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

6.20. Сколько корней в зависимости от значения $a$ имеет уравнение $x^8 = 9a - a^3$?

Данное уравнение имеет вид $x^8 = C$, где $C$ — выражение, зависящее от параметра $a$. Левая часть уравнения, $x^8$, является четной степенью переменной $x$, поэтому она всегда неотрицательна, то есть $x^8 \ge 0$ для любого действительного $x$.

Количество действительных корней уравнения зависит от знака правой части, то есть от значения выражения $9a - a^3$.

Рассмотрим три возможных случая в зависимости от знака выражения $f(a) = 9a - a^3$.

Случай 1: Правая часть больше нуля ($9a - a^3 > 0$)

Если $9a - a^3 > 0$, то уравнение $x^8 = 9a - a^3$ будет иметь два действительных корня: $x_1 = \sqrt[8]{9a - a^3}$ и $x_2 = -\sqrt[8]{9a - a^3}$.

Найдем, при каких значениях $a$ выполняется это неравенство. Разложим левую часть на множители: $a(9 - a^2) > 0$ $a(3 - a)(3 + a) > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Корни выражения $a(3-a)(3+a)$ равны $a=-3$, $a=0$ и $a=3$. Эти точки разбивают числовую ось на интервалы. Определим знак выражения на каждом из них:

- при $a \in (-\infty, -3)$ выражение положительно.
- при $a \in (-3, 0)$ выражение отрицательно.
- при $a \in (0, 3)$ выражение положительно.
- при $a \in (3, \infty)$ выражение отрицательно.

Следовательно, неравенство $9a - a^3 > 0$ выполняется при $a \in (-\infty, -3) \cup (0, 3)$. В этих случаях уравнение имеет два корня.

Случай 2: Правая часть равна нулю ($9a - a^3 = 0$)

Если $9a - a^3 = 0$, уравнение принимает вид $x^8 = 0$, которое имеет единственный корень $x=0$.

Найдем значения $a$, при которых $9a - a^3 = 0$: $a(9 - a^2) = 0$ $a(3 - a)(3 + a) = 0$

Это равенство верно при $a = -3$, $a = 0$ и $a = 3$. В этих случаях уравнение имеет один корень.

Случай 3: Правая часть меньше нуля ($9a - a^3 < 0$)

Если $9a - a^3 < 0$, уравнение $x^8 = 9a - a^3$ не имеет действительных корней, так как неотрицательное число ($x^8$) не может быть равно отрицательному.

Из анализа в первом случае следует, что неравенство $9a - a^3 < 0$ выполняется при $a \in (-3, 0) \cup (3, \infty)$. В этих случаях уравнение не имеет корней.

Ответ:
- если $a \in (-3, 0) \cup (3, \infty)$, то корней нет;
- если $a = -3$, $a = 0$ или $a = 3$, то один корень;
- если $a \in (-\infty, -3) \cup (0, 3)$, то два корня.