Номер 6.19, страница 55 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

6.19. Сколько корней в зависимости от значения a имеет уравнение:

1) $x^{12} = a - 6;$

2) $x^{24} = a^{2} + 7a - 8?$

1) $x^{12} = a - 6$

Данное уравнение имеет вид $x^{2n} = b$, где $2n = 12$ - четная степень, а $b = a - 6$. Количество корней такого уравнения зависит от знака выражения в правой части.

Рассмотрим три случая:

1. Если правая часть больше нуля, то уравнение имеет два корня.

   $a - 6 > 0 \implies a > 6$

   При $a > 6$ уравнение имеет два корня: $x_1 = \sqrt[12]{a-6}$ и $x_2 = -\sqrt[12]{a-6}$.

2. Если правая часть равна нулю, то уравнение имеет один корень.

   $a - 6 = 0 \implies a = 6$

   При $a = 6$ уравнение принимает вид $x^{12} = 0$, откуда $x=0$.

3. Если правая часть меньше нуля, то уравнение не имеет действительных корней, так как четная степень любого действительного числа неотрицательна.

   $a - 6 < 0 \implies a < 6$

   При $a < 6$ у уравнения нет корней.

Ответ: если $a < 6$, корней нет; если $a = 6$, один корень; если $a > 6$, два корня.

2) $x^{24} = a^2 + 7a - 8$

Это уравнение также имеет вид $x^{2n} = b$, где $2n = 24$ - четная степень, а $b = a^2 + 7a - 8$. Количество корней зависит от знака выражения $a^2 + 7a - 8$.

Исследуем знак квадратного трехчлена $f(a) = a^2 + 7a - 8$. Найдем его корни:

$a^2 + 7a - 8 = 0$

По теореме Виета (или через дискриминант):

$D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81 = 9^2$

$a_1 = \frac{-7 - 9}{2} = -8$

$a_2 = \frac{-7 + 9}{2} = 1$

Графиком функции $f(a) = a^2 + 7a - 8$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, выражение положительно вне интервала между корнями и отрицательно внутри него.

Рассмотрим три случая:

1. Уравнение имеет два корня, если правая часть больше нуля:

   $a^2 + 7a - 8 > 0$

   Это выполняется при $a \in (-\infty; -8) \cup (1; +\infty)$.

2. Уравнение имеет один корень ($x=0$), если правая часть равна нулю:

   $a^2 + 7a - 8 = 0$

   Это выполняется при $a = -8$ или $a = 1$.

3. Уравнение не имеет корней, если правая часть меньше нуля:

   $a^2 + 7a - 8 < 0$

   Это выполняется при $a \in (-8; 1)$.

Ответ: если $a \in (-8; 1)$, корней нет; если $a = -8$ или $a = 1$, один корень; если $a \in (-\infty; -8) \cup (1; +\infty)$, два корня.