Номер 6.12, страница 54 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

6.12. Постройте график функции:

1) $y = x^3 + 3;$

2) $y = (x - 3)^3;$

3) $y = x^4 + 2;$

4) $y = (x + 1)^4;$

5) $y = \frac{1}{4}x^3;$

6) $y = -x^4.$

Для построения графиков данных функций мы будем использовать метод преобразования графиков элементарных функций $y=x^3$ и $y=x^4$.

1) $y = x^3 + 3$

График этой функции можно получить из графика базовой функции $y = x^3$ (кубическая парабола). Преобразование имеет вид $f(x) + c$, где $c = 3$. Это означает параллельный перенос (сдвиг) графика базовой функции вдоль оси ординат (оси OY).

Порядок построения:

1. Строим график функции $y = x^3$. Это кривая, проходящая через начало координат (0,0), симметричная относительно начала координат. Контрольные точки: (-2, -8), (-1, -1), (0, 0), (1, 1), (2, 8).
2. Сдвигаем построенный график на 3 единицы вверх вдоль оси OY. Каждая точка $(x, y)$ графика $y=x^3$ перейдет в точку $(x, y+3)$. Например, точка (0, 0) перейдет в (0, 3), точка (1, 1) в (1, 4), точка (-1, -1) в (-1, 2).

Для точности построим таблицу значений:

Ответ: График функции $y = x^3 + 3$ — это кубическая парабола $y = x^3$, смещенная на 3 единицы вверх вдоль оси ординат.

2) $y = (x - 3)^3$

График этой функции можно получить из графика базовой функции $y = x^3$. Преобразование имеет вид $f(x - c)$, где $c = 3$. Это означает параллельный перенос (сдвиг) графика базовой функции вдоль оси абсцисс (оси OX).

Порядок построения:

1. Строим график функции $y = x^3$.
2. Сдвигаем построенный график на 3 единицы вправо вдоль оси OX. Каждая точка $(x, y)$ графика $y=x^3$ перейдет в точку $(x+3, y)$. Центр симметрии (0,0) переместится в точку (3,0).

Таблица значений:

Ответ: График функции $y = (x - 3)^3$ — это кубическая парабола $y = x^3$, смещенная на 3 единицы вправо вдоль оси абсцисс.

3) $y = x^4 + 2$

График этой функции можно получить из графика базовой функции $y = x^4$. График $y = x^4$ — это четная функция, симметричная относительно оси OY, похожая на параболу $y=x^2$, но более "плоская" у вершины и круче на удалении от нее. Преобразование имеет вид $f(x) + c$, где $c = 2$. Это сдвиг графика вверх на 2 единицы.

Порядок построения:

1. Строим график функции $y = x^4$. Контрольные точки: (-2, 16), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 16). Вершина в точке (0,0).
2. Сдвигаем построенный график на 2 единицы вверх вдоль оси OY. Вершина (0,0) переместится в точку (0,2).

Таблица значений:

Ответ: График функции $y = x^4 + 2$ — это график функции $y = x^4$, смещенный на 2 единицы вверх вдоль оси ординат.

4) $y = (x + 1)^4$

График этой функции можно получить из графика базовой функции $y = x^4$. Преобразование имеет вид $f(x - c)$. Уравнение можно переписать как $y = (x - (-1))^4$, значит $c = -1$. Это сдвиг графика базовой функции влево на 1 единицу.

Порядок построения:

1. Строим график функции $y = x^4$.
2. Сдвигаем построенный график на 1 единицу влево вдоль оси OX. Вершина (0,0) переместится в точку (-1,0).

Таблица значений:

Ответ: График функции $y = (x + 1)^4$ — это график функции $y = x^4$, смещенный на 1 единицу влево вдоль оси абсцисс.

5) $y = \frac{1}{4}x^3$

График этой функции можно получить из графика базовой функции $y = x^3$. Преобразование имеет вид $a \cdot f(x)$, где $a = \frac{1}{4}$. Так как $0 < a < 1$, это вертикальное сжатие графика к оси OX.

Порядок построения:

1. Строим график функции $y = x^3$.
2. Ординату каждой точки графика умножаем на коэффициент $\frac{1}{4}$. График "сжимается" к оси абсцисс в 4 раза. Точка (0,0) останется на месте. Точка (1,1) перейдет в $(1, \frac{1}{4})$, точка (2,8) в (2,2).

Таблица значений:

Ответ: График функции $y = \frac{1}{4}x^3$ — это кубическая парабола $y = x^3$, сжатая к оси абсцисс в 4 раза.

6) $y = -x^4$

График этой функции можно получить из графика базовой функции $y = x^4$. Преобразование имеет вид $-f(x)$. Это симметричное отражение графика базовой функции относительно оси абсцисс (оси OX).

Порядок построения:

1. Строим график функции $y = x^4$. Ветви направлены вверх.
2. Отражаем построенный график симметрично относительно оси OX. Ветви полученного графика будут направлены вниз. Вершина (0,0) останется на месте, но станет точкой максимума.

Таблица значений:

Ответ: График функции $y = -x^4$ — это график функции $y = x^4$, отраженный симметрично относительно оси абсцисс.