Номер 6.6, страница 53 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 6. Степенная функция с натуральным показателем. Глава 2. Степенная функция - номер 6.6, страница 53.

6.6. Функция задана формулой $f(x) = x^{50}$. Сравните:

1) $f(9,2)$ и $f(8,5)$;

2) $f(-1,1)$ и $f(-1,2)$;

3) $f(19)$ и $f(-19)$;

4) $f(-7)$ и $f(9)$.

Функция $f(x) = x^{50}$ является степенной функцией с четным показателем степени $n=50$.

Основные свойства этой функции, необходимые для решения:

• Четность: Функция является четной, так как для любого $x$ выполняется равенство $f(-x) = (-x)^{50} = x^{50} = f(x)$. Это означает, что значения функции для противоположных аргументов равны.
• Монотонность:
  • На промежутке $[0; +\infty)$ функция возрастает. То есть, если $x_2 > x_1 \ge 0$, то $f(x_2) > f(x_1)$.
  • На промежутке $(-\infty; 0]$ функция убывает. То есть, если $0 \ge x_2 > x_1$, то $f(x_2) < f(x_1)$.

Используя эти свойства, сравним значения функции в заданных точках.

1) f(9,2) и f(8,5)

Аргументы $x_1 = 9,2$ и $x_2 = 8,5$ оба положительны, то есть принадлежат промежутку возрастания функции $[0; +\infty)$.
Поскольку $9,2 > 8,5$, и на этом промежутке большему значению аргумента соответствует большее значение функции, то $f(9,2) > f(8,5)$.
Ответ: $f(9,2) > f(8,5)$.

2) f(-1,1) и f(-1,2)

Аргументы $x_1 = -1,1$ и $x_2 = -1,2$ оба отрицательны, то есть принадлежат промежутку убывания функции $(-\infty; 0]$.
Сравним аргументы: $-1,1 > -1,2$.
Так как на этом промежутке функция убывает, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Следовательно, $f(-1,1) < f(-1,2)$.
Можно также использовать свойство четности: $f(-1,1) = (1,1)^{50}$, а $f(-1,2) = (1,2)^{50}$. Поскольку $1,2 > 1,1 > 0$, а для положительных аргументов функция возрастает, то $(1,2)^{50} > (1,1)^{50}$, что означает $f(-1,2) > f(-1,1)$.
Ответ: $f(-1,1) < f(-1,2)$.

3) f(19) и f(-19)

Так как функция $f(x) = x^{50}$ является четной, то по определению $f(x) = f(-x)$ для любого $x$.
Подставив $x = 19$, получаем $f(19) = f(-19)$.
Проверим напрямую: $f(19) = 19^{50}$ и $f(-19) = (-19)^{50}$. Так как показатель степени $50$ — четное число, то $(-19)^{50} = 19^{50}$.
Ответ: $f(19) = f(-19)$.

4) f(-7) и f(9)

Воспользуемся свойством четности функции для первого значения: $f(-7) = f(7)$.
Таким образом, задача сводится к сравнению $f(7)$ и $f(9)$.
$f(7) = 7^{50}$
$f(9) = 9^{50}$
Аргументы $7$ и $9$ принадлежат промежутку возрастания функции $[0; +\infty)$. Поскольку $9 > 7$, то $f(9) > f(7)$.
Следовательно, $f(9) > f(-7)$.
Ответ: $f(-7) < f(9)$.