Страница 53 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Какую функцию называют степенной функцией с натуральным показателем?

1. Степенной функцией с натуральным показателем называется функция, которую можно задать формулой вида $y = x^n$, где $x$ — независимая переменная (основание степени), а $n$ — заданное натуральное число (показатель степени).

Натуральные числа — это числа, используемые при счете предметов: $1, 2, 3, 4, \dots$. Математически это записывается как $n \in \mathbb{N}$.

В зависимости от значения показателя $n$ степенная функция может принимать различные известные формы.

• Если $n = 1$, то функция имеет вид $y = x^1 = x$. Это линейная функция, график которой — прямая, проходящая через начало координат.
• Если $n = 2$, то функция имеет вид $y = x^2$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вверх.
• Если $n = 3$, то функция имеет вид $y = x^3$. Это кубическая функция, график которой — кубическая парабола, симметричная относительно начала координат.

Общим свойством для всех степенных функций с натуральным показателем является то, что их область определения — это множество всех действительных чисел ($D(f) = \mathbb{R}$).

Ответ: Степенной функцией с натуральным показателем называют функцию вида $y = x^n$, где $x$ — переменная, а $n$ — натуральное число ($n=1, 2, 3, \dots$).

2. Сформулируйте свойства функции $y=x^n$.

Свойства степенной функции $y=x^n$ существенно зависят от показателя степени $n$. Рассмотрим основные случаи.

В этом случае свойства функции зависят от четности или нечетности $n$.

Примером такой функции является парабола $y=x^2$.

• Область определения: вся числовая прямая, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: неотрицательные числа, $E(y) = [0; +\infty)$.
• Четность: функция является четной, так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = (-x)^{2k} = x^{2k} = y(x)$. График функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).
• Нули функции: $y=0$ при $x=0$.
• Промежутки знакопостоянства: $y>0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Промежутки монотонности: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.
• Экстремумы: точка $x=0$ является точкой минимума, $y_{min} = 0$.
• Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.

Ответ: Для четного натурального $n$ функция $y=x^n$ является четной, определена на всей числовой прямой, область значений $E(y) = [0; +\infty)$, имеет точку минимума $(0,0)$, убывает при $x \le 0$ и возрастает при $x \ge 0$.

Примером такой функции является кубическая парабола $y=x^3$.

• Область определения: вся числовая прямая, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: вся числовая прямая, $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Четность: функция является нечетной, так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = (-x)^{2k-1} = -x^{2k-1} = -y(x)$. График функции симметричен относительно начала координат.
• Нули функции: $y=0$ при $x=0$.
• Промежутки знакопостоянства: $y>0$ при $x>0$; $y<0$ при $x<0$.
• Промежутки монотонности: функция возрастает на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.
• Экстремумы: экстремумов нет.
• Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.

Ответ: Для нечетного натурального $n$ функция $y=x^n$ является нечетной, определена и возрастает на всей числовой прямой, область значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$, не имеет экстремумов.

В этом случае $y = x^{-m} = \frac{1}{x^m}$. Свойства также зависят от четности или нечетности $m$ (а значит, и $n$).

Примером такой функции является $y=x^{-2} = \frac{1}{x^2}$.

• Область определения: все действительные числа, кроме $x=0$, то есть $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Область значений: положительные числа, $E(y) = (0; +\infty)$.
• Четность: функция является четной, так как $y(-x) = (-x)^{-2k} = \frac{1}{(-x)^{2k}} = \frac{1}{x^{2k}} = y(x)$. График симметричен относительно оси OY.
• Нули функции: нулей нет.
• Промежутки знакопостоянства: $y>0$ на всей области определения.
• Промежутки монотонности: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0)$ и убывает на промежутке $(0; +\infty)$.
• Экстремумы: экстремумов нет.
• Асимптоты: вертикальная асимптота $x=0$, горизонтальная асимптота $y=0$.

Ответ: Для целого отрицательного четного $n$ функция $y=x^n$ является четной, определена для всех $x \ne 0$, область значений $E(y) = (0; +\infty)$, имеет асимптоты $x=0$ и $y=0$, возрастает на $(-\infty; 0)$ и убывает на $(0; +\infty)$.

Примером такой функции является гипербола $y=x^{-1} = \frac{1}{x}$.

• Область определения: все действительные числа, кроме $x=0$, то есть $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Область значений: все действительные числа, кроме $y=0$, то есть $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Четность: функция является нечетной, так как $y(-x) = (-x)^{-(2k-1)} = -\frac{1}{x^{2k-1}} = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат.
• Нули функции: нулей нет.
• Промежутки знакопостоянства: $y>0$ при $x>0$; $y<0$ при $x<0$.
• Промежутки монотонности: функция убывает на каждом из промежутков области определения: на $(-\infty; 0)$ и на $(0; +\infty)$.
• Экстремумы: экстремумов нет.
• Асимптоты: вертикальная асимптота $x=0$, горизонтальная асимптота $y=0$.

Ответ: Для целого отрицательного нечетного $n$ функция $y=x^n$ является нечетной, определена для всех $x \ne 0$, область значений $E(y)=(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, имеет асимптоты $x=0$ и $y=0$ и убывает на каждом из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

Функция имеет вид $y=x^0$. По определению, любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1. Выражение $0^0$ не определено.

• Область определения: все действительные числа, кроме $x=0$, $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = \{1\}$.
• Свойства: Функция является константой $y=1$ на всей своей области определения. График — прямая, параллельная оси OX, с "выколотой" точкой $(0,1)$.

Ответ: Функция $y=x^0$ определена для всех $x \neq 0$, ее значение постоянно и равно 1. Графиком является прямая $y=1$ с выколотой точкой $(0,1)$.

Для положительных значений аргумента $x$ степенная функция $y=x^n$ всегда определена. Ее свойства зависят от знака показателя $n$. Этот случай обобщает, например, функции с дробными показателями, такие как $y=\sqrt{x}=x^{1/2}$.

• Область определения: $D(y) = (0; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (0; +\infty)$.
• Нули и знакопостоянство: Функция не имеет нулей и всегда положительна ($y>0$).
• Промежутки монотонности:
  • Если $n>0$, функция возрастает на всей области определения.
  • Если $n<0$, функция убывает на всей области определения.
  • Если $n=0$, функция является константой $y=1$.
• Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения $(0; +\infty)$.
• График: Всегда проходит через точку $(1,1)$.

Ответ: Для $x>0$ и произвольного действительного $n$ функция $y=x^n$ определена, непрерывна и положительна. Она возрастает при $n>0$, убывает при $n<0$ и является константой при $n=0$. Все графики проходят через точку $(1,1)$.

3. Изобразите схематически график функции $y = x^n$.

График степенной функции $y=x^n$ имеет различный вид в зависимости от значения показателя степени $n$. Рассмотрим основные случаи.

1. Показатель n — натуральное четное число ($n = 2, 4, 6, \dots$)

Примером такой функции является $y=x^2$. График в этом случае называют параболой.

Свойства и вид графика:

- Область определения: все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

- Область значений: неотрицательные числа, $E(y) = [0; +\infty)$.

- Четность: функция является четной, так как $f(-x) = (-x)^n = x^n = f(x)$. График симметричен относительно оси ординат (OY).

- Ключевые точки: график проходит через точки $(0, 0)$, $(1, 1)$ и $(-1, 1)$.

- Форма: график представляет собой U-образную кривую с вершиной в начале координат, ветви которой направлены вверх. Чем больше значение $n$, тем "круче" график прижимается к оси OY на интервалах $(-\infty; -1)$ и $(1; +\infty)$ и сильнее "сплющивается" к оси OX на интервале $(-1; 1)$.

Ответ: Схематически график представляет собой параболу с вершиной в начале координат, ветвями вверх, симметричную относительно оси OY.

2. Показатель n — натуральное нечетное число ($n = 1, 3, 5, \dots$)

Простейший случай — $n=1$, это прямая $y=x$. Классический пример для $n>1$ — кубическая парабола $y=x^3$.

Свойства и вид графика:

- Область определения: все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

- Область значений: все действительные числа, $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

- Четность: функция является нечетной, так как $f(-x) = (-x)^n = -x^n = -f(x)$. График симметричен относительно начала координат $(0, 0)$.

- Ключевые точки: график проходит через точки $(0, 0)$, $(1, 1)$ и $(-1, -1)$.

- Форма: для $n>1$ график — это кривая, проходящая из третьего координатного квадранта в первый, "изгибаясь" в районе начала координат. Для $n=1$ это прямая, проходящая через начало координат под углом 45 градусов.

Ответ: Схематически график (при $n>1$) — это кривая, проходящая через начало координат, расположенная в I и III квадрантах и симметричная относительно начала координат. При $n=1$ — прямая линия.

3. Показатель n = 0

Функция принимает вид $y=x^0$. По определению, любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1.

Свойства и вид графика:

- Область определения: все действительные числа, кроме $x=0$, так как выражение $0^0$ не определено. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

- Область значений: функция принимает только одно значение, $E(y) = \{1\}$.

- Форма: график — это горизонтальная прямая $y=1$ с "выколотой" точкой $(0, 1)$.

Ответ: Схематически график — это горизонтальная прямая $y=1$, на которой отсутствует точка пересечения с осью OY (выколотая точка).

4. Показатель n — целое отрицательное четное число ($n = -2, -4, \dots$)

Примером является функция $y = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$.

Свойства и вид графика:

- Область определения: все действительные числа, кроме $x=0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

- Область значений: только положительные числа, $E(y) = (0; +\infty)$.

- Четность: функция четная, график симметричен относительно оси OY.

- Асимптоты: ось OX ($y=0$) является горизонтальной асимптотой, а ось OY ($x=0$) — вертикальной.

- Форма: график состоит из двух ветвей, расположенных в I и II координатных квадрантах. Ветви бесконечно приближаются к осям координат, но не пересекают их.

Ответ: Схематически график состоит из двух ветвей в I и II квадрантах, симметричных относительно оси OY и приближающихся к осям координат (асимптотам).

5. Показатель n — целое отрицательное нечетное число ($n = -1, -3, \dots$)

Классический пример — гипербола $y = x^{-1} = \frac{1}{x}$.

Свойства и вид графика:

- Область определения: все действительные числа, кроме $x=0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

- Область значений: все действительные числа, кроме $y=0$. $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

- Четность: функция нечетная, график симметричен относительно начала координат.

- Асимптоты: ось OX ($y=0$) является горизонтальной асимптотой, а ось OY ($x=0$) — вертикальной.

- Форма: график (гипербола) состоит из двух ветвей, расположенных в I и III координатных квадрантах.

Ответ: Схематически график — это гипербола с двумя ветвями в I и III квадрантах, симметричными относительно начала координат и имеющими оси координат в качестве асимптот.

6.1. Через какие из данных точек проходит график функции $y = x^5$:

1) $A (-1; 1)$;

2) $B (2; 32)$;

3) $C (-3; -243)$?

Для того чтобы определить, проходит ли график функции $y = x^5$ через заданную точку, необходимо подставить координаты этой точки $(x; y)$ в уравнение функции. Если в результате подстановки получается верное числовое равенство, то точка принадлежит графику, в противном случае — не принадлежит.

1) A(-1; 1)
Проверим точку $A$ с координатами $x = -1$ и $y = 1$. Подставим значение $x = -1$ в уравнение функции:
$y = (-1)^5 = -1 \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) = -1$.
Полученное значение $y = -1$ не совпадает с ординатой точки $A$, которая равна $1$. Так как $-1 \neq 1$, график функции не проходит через точку $A$.
Ответ: не проходит.

2) B(2; 32)
Проверим точку $B$ с координатами $x = 2$ и $y = 32$. Подставим значение $x = 2$ в уравнение функции:
$y = 2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$.
Полученное значение $y = 32$ совпадает с ординатой точки $B$. Так как $32 = 32$, график функции проходит через точку $B$.
Ответ: проходит.

3) C(-3; -243)
Проверим точку $C$ с координатами $x = -3$ и $y = -243$. Подставим значение $x = -3$ в уравнение функции:
$y = (-3)^5 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -243$.
Полученное значение $y = -243$ совпадает с ординатой точки $C$. Так как $-243 = -243$, график функции проходит через точку $C$.
Ответ: проходит.

6.2. Через какие из данных точек проходит график функции $y = x^4$:

1) A (2; 16);

2) B $(-\frac{1}{3}; \frac{1}{81})$;

3) C (0,5; -0,0625)?

Чтобы определить, проходит ли график функции через данную точку, необходимо подставить координаты этой точки в уравнение функции. Если в результате подстановки получается верное числовое равенство, то точка принадлежит графику функции, в противном случае — не принадлежит. Дана функция $y=x^4$.

Подставляем координаты точки A, где $x=2$ и $y=16$, в уравнение функции:

$16 = 2^4$

Вычисляем правую часть равенства:

$2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$

Получаем верное равенство: $16 = 16$.

Следовательно, график функции проходит через точку A.

Ответ: проходит.

Подставляем координаты точки B, где $x=-\frac{1}{3}$ и $y=\frac{1}{81}$, в уравнение функции:

$\frac{1}{81} = \left(-\frac{1}{3}\right)^4$

Вычисляем правую часть равенства. Поскольку показатель степени (4) — четное число, результат будет положительным:

$\left(-\frac{1}{3}\right)^4 = \left(\frac{1}{3}\right)^4 = \frac{1^4}{3^4} = \frac{1}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{1}{81}$

Получаем верное равенство: $\frac{1}{81} = \frac{1}{81}$.

Следовательно, график функции проходит через точку B.

Ответ: проходит.

Подставляем координаты точки C, где $x=0,5$ и $y=-0,0625$, в уравнение функции:

$-0,0625 = (0,5)^4$

Вычисляем правую часть равенства:

$(0,5)^4 = \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1^4}{2^4} = \frac{1}{16} = 0,0625$

Получаем неверное равенство: $-0,0625 \neq 0,0625$.

Кроме того, для любого действительного числа $x$ значение выражения $x^4$ является неотрицательным ($x^4 \ge 0$). Ордината точки C отрицательна, поэтому точка не может принадлежать графику данной функции.

Ответ: не проходит.

6.3. Функция задана формулой $f(x) = x^{19}$. Сравните:

1) $f(1,4)$ и $f(1,8)$;

2) $f(-7,6)$ и $f(-8,5)$;

3) $f(-6,9)$ и $f(6,9)$;

4) $f(0,2)$ и $f(-12)$.

Данная функция $f(x) = x^{19}$ является степенной функцией с нечетным натуральным показателем ($n=19$).

Ключевое свойство таких функций — они являются строго возрастающими на всей числовой прямой. Это означает, что если взять два любых числа $x_1$ и $x_2$ такие, что $x_1 < x_2$, то для значений функции будет выполняться неравенство $f(x_1) < f(x_2)$. Иными словами, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Также функция с нечетным показателем является нечетной, то есть для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Используя эти свойства, проведем сравнение для каждой пары значений.

Необходимо сравнить $f(1,4)$ и $f(1,8)$. Аргументы: $1,4$ и $1,8$. Так как $1,4 < 1,8$ и функция $f(x)$ является строго возрастающей, то $f(1,4) < f(1,8)$.

Ответ: $f(1,4) < f(1,8)$.

Необходимо сравнить $f(-7,6)$ и $f(-8,5)$. Аргументы: $-7,6$ и $-8,5$. Сначала сравним аргументы: $-8,5 < -7,6$. Поскольку функция $f(x)$ строго возрастающая, то из неравенства для аргументов следует такое же неравенство для значений функции: $f(-8,5) < f(-7,6)$.

Ответ: $f(-7,6) > f(-8,5)$.

Необходимо сравнить $f(-6,9)$ и $f(6,9)$.
Способ 1: Использование монотонности. Сравним аргументы: $-6,9 < 6,9$. Так как функция $f(x)$ строго возрастающая, то $f(-6,9) < f(6,9)$.

Способ 2: Использование нечетности. Функция $f(x) = x^{19}$ является нечетной, поэтому $f(-6,9) = -f(6,9)$. Значение $f(6,9) = (6,9)^{19}$ — положительное число. Следовательно, $f(-6,9)$ — отрицательное число. Любое отрицательное число меньше положительного, поэтому $f(-6,9) < f(6,9)$.

Ответ: $f(-6,9) < f(6,9)$.

Необходимо сравнить $f(0,2)$ и $f(-12)$.
Способ 1: Использование монотонности. Сравним аргументы: $-12 < 0,2$. Так как функция $f(x)$ строго возрастающая, то $f(-12) < f(0,2)$.

Способ 2: Сравнение по знаку. Значение $f(0,2) = (0,2)^{19}$ является положительным, так как основание степени положительно. Значение $f(-12) = (-12)^{19}$ является отрицательным, так как основание степени отрицательно, а показатель степени — нечетное число. Положительное число всегда больше отрицательного, поэтому $f(0,2) > f(-12)$.

Ответ: $f(0,2) > f(-12)$.

6.4. Функция задана формулой $f(x)=x^{21}$. Сравните:

1) $f(20)$ и $f(17)$;

2) $f(-44)$ и $f(1,5)$;

3) $f(-52)$ и $f(-45)$.

Дана функция $f(x) = x^{21}$. Поскольку показатель степени $21$ является нечетным числом, данная степенная функция является возрастающей на всей числовой прямой (для всех действительных значений $x$). Это означает, что для любых двух аргументов $x_1$ и $x_2$, если $x_1 > x_2$, то и $f(x_1) > f(x_2)$. Воспользуемся этим свойством для сравнения.

1) f(20) и f(17);

Требуется сравнить значения функции $f(x)$ при $x=20$ и $x=17$. Сравниваем аргументы: $20 > 17$. Так как функция $f(x) = x^{21}$ возрастающая, большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Следовательно, $f(20) > f(17)$.

Ответ: $f(20) > f(17)$.

2) f(-44) и f(1,5);

Требуется сравнить значения функции $f(x)$ при $x=-44$ и $x=1,5$. Сравниваем аргументы: $-44 < 1,5$. Так как функция $f(x) = x^{21}$ возрастающая, меньшему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Следовательно, $f(-44) < f(1,5)$.
Альтернативное рассуждение: $f(-44) = (-44)^{21}$ — это отрицательное число, так как отрицательное основание возводится в нечетную степень. $f(1,5) = (1,5)^{21}$ — это положительное число. Любое отрицательное число меньше любого положительного, поэтому $f(-44) < f(1,5)$.

Ответ: $f(-44) < f(1,5)$.

3) f(-52) и f(-45).

Требуется сравнить значения функции $f(x)$ при $x=-52$ и $x=-45$. Сравниваем аргументы: $-52 < -45$. Так как функция $f(x) = x^{21}$ возрастающая, меньшему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Следовательно, $f(-52) < f(-45)$.
Проверим иначе: $f(-52) = (-52)^{21} = -(52^{21})$ и $f(-45) = (-45)^{21} = -(45^{21})$. Сравним модули этих чисел: поскольку $52 > 45$, то $52^{21} > 45^{21}$. При сравнении отрицательных чисел, то число будет меньше, у которого модуль больше. Так как $|f(-52)| > |f(-45)|$, а оба числа отрицательные, то $f(-52) < f(-45)$.

Ответ: $f(-52) < f(-45)$.

6.5. Функция задана формулой $f(x) = x^{20}$. Сравните:

1) $f(3,6)$ и $f(4,2);$

2) $f(-6,7)$ и $f(-5,8);$

3) $f(-2,4)$ и $f(2,4);$

4) $f(-15)$ и $f(2).$

Для сравнения значений функции $f(x) = x^{20}$ необходимо проанализировать ее свойства. Показатель степени 20 — чётное число, поэтому функция является чётной, то есть $f(-x) = (-x)^{20} = x^{20} = f(x)$ для любого $x$. Это означает, что её график симметричен относительно оси ординат. Также важно поведение функции на разных интервалах: на промежутке $[0; +\infty)$ функция возрастает (большему значению аргумента соответствует большее значение функции), а на промежутке $(-\infty; 0]$ функция убывает (большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции).

1) $f(3,6)$ и $f(4,2)$
Аргументы $x_1 = 3,6$ и $x_2 = 4,2$ находятся на промежутке $[0; +\infty)$, где функция $f(x)$ возрастает. Поскольку $3,6 < 4,2$, то и значения функции будут находиться в том же соотношении: $f(3,6) < f(4,2)$.
Ответ: $f(3,6) < f(4,2)$.

2) $f(-6,7)$ и $f(-5,8)$
Аргументы $x_1 = -6,7$ и $x_2 = -5,8$ находятся на промежутке $(-\infty; 0]$, где функция $f(x)$ убывает. Поскольку $-6,7 < -5,8$, то для убывающей функции соотношение значений будет обратным: $f(-6,7) > f(-5,8)$.
В качестве проверки можно использовать свойство чётности: $f(-6,7) = (6,7)^{20}$ и $f(-5,8) = (5,8)^{20}$. Так как $6,7 > 5,8$, то $(6,7)^{20} > (5,8)^{20}$, что подтверждает результат.
Ответ: $f(-6,7) > f(-5,8)$.

3) $f(-2,4)$ и $f(2,4)$
Функция $f(x) = x^{20}$ является чётной, что по определению означает $f(-x) = f(x)$. Следовательно, для аргументов, равных по модулю, значения функции будут одинаковы.
$f(-2,4) = f(2,4)$.
Ответ: $f(-2,4) = f(2,4)$.

4) $f(-15)$ и $f(2)$
Сначала используем свойство чётности для первого значения: $f(-15) = (-15)^{20} = 15^{20}$.
Теперь сравним $f(-15) = 15^{20}$ и $f(2) = 2^{20}$.
Поскольку основания степеней положительны и $15 > 2$, то при возведении в одну и ту же положительную степень (20) знак неравенства сохраняется: $15^{20} > 2^{20}$.
Следовательно, $f(-15) > f(2)$.
Ответ: $f(-15) > f(2)$.

6.6. Функция задана формулой $f(x) = x^{50}$. Сравните:

1) $f(9,2)$ и $f(8,5)$;

2) $f(-1,1)$ и $f(-1,2)$;

3) $f(19)$ и $f(-19)$;

4) $f(-7)$ и $f(9)$.

Функция $f(x) = x^{50}$ является степенной функцией с четным показателем степени $n=50$.

Основные свойства этой функции, необходимые для решения:

• Четность: Функция является четной, так как для любого $x$ выполняется равенство $f(-x) = (-x)^{50} = x^{50} = f(x)$. Это означает, что значения функции для противоположных аргументов равны.
• Монотонность:
  • На промежутке $[0; +\infty)$ функция возрастает. То есть, если $x_2 > x_1 \ge 0$, то $f(x_2) > f(x_1)$.
  • На промежутке $(-\infty; 0]$ функция убывает. То есть, если $0 \ge x_2 > x_1$, то $f(x_2) < f(x_1)$.

Используя эти свойства, сравним значения функции в заданных точках.

1) f(9,2) и f(8,5)

Аргументы $x_1 = 9,2$ и $x_2 = 8,5$ оба положительны, то есть принадлежат промежутку возрастания функции $[0; +\infty)$.
Поскольку $9,2 > 8,5$, и на этом промежутке большему значению аргумента соответствует большее значение функции, то $f(9,2) > f(8,5)$.
Ответ: $f(9,2) > f(8,5)$.

2) f(-1,1) и f(-1,2)

Аргументы $x_1 = -1,1$ и $x_2 = -1,2$ оба отрицательны, то есть принадлежат промежутку убывания функции $(-\infty; 0]$.
Сравним аргументы: $-1,1 > -1,2$.
Так как на этом промежутке функция убывает, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Следовательно, $f(-1,1) < f(-1,2)$.
Можно также использовать свойство четности: $f(-1,1) = (1,1)^{50}$, а $f(-1,2) = (1,2)^{50}$. Поскольку $1,2 > 1,1 > 0$, а для положительных аргументов функция возрастает, то $(1,2)^{50} > (1,1)^{50}$, что означает $f(-1,2) > f(-1,1)$.
Ответ: $f(-1,1) < f(-1,2)$.

3) f(19) и f(-19)

Так как функция $f(x) = x^{50}$ является четной, то по определению $f(x) = f(-x)$ для любого $x$.
Подставив $x = 19$, получаем $f(19) = f(-19)$.
Проверим напрямую: $f(19) = 19^{50}$ и $f(-19) = (-19)^{50}$. Так как показатель степени $50$ — четное число, то $(-19)^{50} = 19^{50}$.
Ответ: $f(19) = f(-19)$.

4) f(-7) и f(9)

Воспользуемся свойством четности функции для первого значения: $f(-7) = f(7)$.
Таким образом, задача сводится к сравнению $f(7)$ и $f(9)$.
$f(7) = 7^{50}$
$f(9) = 9^{50}$
Аргументы $7$ и $9$ принадлежат промежутку возрастания функции $[0; +\infty)$. Поскольку $9 > 7$, то $f(9) > f(7)$.
Следовательно, $f(9) > f(-7)$.
Ответ: $f(-7) < f(9)$.