Страница 47 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Решите уравнение $x^3 + 2x\sqrt{x-1} = 12$.

Для решения уравнения $x^3 + 2x\sqrt{x-1} = 12$ первым шагом определим его область допустимых значений (ОДЗ). Выражение, находящееся под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным.

$x - 1 \ge 0$

$x \ge 1$

Следовательно, ОДЗ уравнения: $x \in [1, +\infty)$.

Теперь рассмотрим функцию, стоящую в левой части уравнения: $f(x) = x^3 + 2x\sqrt{x-1}$. Исследуем эту функцию на монотонность на её области определения.

Функция $f(x)$ является суммой двух функций: $g(x) = x^3$ и $h(x) = 2x\sqrt{x-1}$.

1. Функция $g(x) = x^3$ является степенной функцией с нечетным натуральным показателем, она строго возрастает на всей числовой оси, а значит, и на промежутке $[1, +\infty)$.

2. Функция $h(x) = 2x\sqrt{x-1}$ на промежутке $[1, +\infty)$ является произведением двух неотрицательных и возрастающих функций: $y_1 = 2x$ и $y_2 = \sqrt{x-1}$. Произведение таких функций также является возрастающей функцией на данном промежутке.

Поскольку $f(x)$ — это сумма двух строго возрастающих на промежутке $[1, +\infty)$ функций, то и сама функция $f(x)$ является строго возрастающей на этом промежутке.

Строго монотонная функция принимает каждое свое значение ровно один раз. Это означает, что уравнение $f(x) = 12$ может иметь не более одного корня.

Попробуем найти этот корень методом подбора, проверяя небольшие целые значения $x$ из области допустимых значений.

Пусть $x=2$. Подставим это значение в исходное уравнение:

$2^3 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{2-1} = 8 + 4 \cdot \sqrt{1} = 8 + 4 = 12$

Получили верное равенство $12 = 12$. Следовательно, $x=2$ является корнем уравнения.

Так как мы доказали, что уравнение имеет не более одного решения, и мы нашли это решение, то $x=2$ — единственный корень уравнения.

Ответ: $2$.

2. Решите систему уравнений

$\begin{cases} x^4 - \sqrt{y} = y^4 - \sqrt{x}, \\ x^2 + y^2 = 2. \end{cases}$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Из-за наличия в уравнениях выражений $\sqrt{x}$ и $\sqrt{y}$, переменные $x$ и $y$ должны быть неотрицательными: $x \ge 0$, $y \ge 0$.

Преобразуем первое уравнение системы $x^4 - \sqrt{y} = y^4 - \sqrt{x}$, сгруппировав члены с одинаковыми переменными в разных частях уравнения:$x^4 + \sqrt{x} = y^4 + \sqrt{y}$

Рассмотрим функцию $f(t) = t^4 + \sqrt{t}$, определенную на множестве $t \ge 0$. В терминах этой функции первое уравнение системы принимает вид $f(x) = f(y)$.

Исследуем функцию $f(t)$ на монотонность. Найдем ее производную для $t > 0$:$f'(t) = (t^4 + t^{1/2})' = 4t^3 + \frac{1}{2}t^{-1/2} = 4t^3 + \frac{1}{2\sqrt{t}}$

Поскольку для любого $t > 0$ выполняются неравенства $t^3 > 0$ и $\sqrt{t} > 0$, производная $f'(t)$ всегда положительна. Это означает, что функция $f(t)$ является строго возрастающей на всей своей области определения $[0, \infty)$.

Для строго возрастающей функции равенство $f(x) = f(y)$ выполняется тогда и только тогда, когда $x = y$.

Подставим полученное равенство $x = y$ во второе уравнение системы $x^2 + y^2 = 2$:$x^2 + x^2 = 2$$2x^2 = 2$$x^2 = 1$

Учитывая ОДЗ ($x \ge 0$), из уравнения $x^2 = 1$ следует, что $x=1$.

Поскольку $y=x$, то $y$ также равен 1.

Таким образом, единственным решением системы является пара $(1, 1)$. Проверка показывает, что данное решение удовлетворяет обоим уравнениям системы и ОДЗ: $1^4-\sqrt{1}=1^4-\sqrt{1} \implies 0=0$ и $1^2+1^2=2 \implies 2=2$.

Ответ: $(1, 1)$.

3. Решите неравенство $\sqrt{x + \sqrt{2x-1}} < 2$.

Для решения неравенства $\sqrt{x + \sqrt{2x - 1}} < 2$ сначала определим область допустимых значений (ОДЗ).

Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными. Это приводит к системе условий:
1. Внутренний корень: $2x - 1 \ge 0$, откуда $2x \ge 1$, то есть $x \ge \frac{1}{2}$.
2. Внешний корень: $x + \sqrt{2x - 1} \ge 0$. Поскольку из первого условия $x \ge \frac{1}{2}$ (то есть $x$ — положительное число) и $\sqrt{2x - 1} \ge 0$, их сумма всегда будет положительной. Следовательно, это условие выполняется для всех $x$ из первого условия.
Таким образом, ОДЗ неравенства: $x \in [\frac{1}{2}, +\infty)$.

Теперь решим само неравенство. Обе его части неотрицательны, поэтому мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:
$(\sqrt{x + \sqrt{2x - 1}})^2 < 2^2$
$x + \sqrt{2x - 1} < 4$

Для дальнейшего решения преобразуем левую часть исходного неравенства, выделив под внешним корнем полный квадрат. Умножим и разделим подкоренное выражение $x + \sqrt{2x - 1}$ на 2:
$x + \sqrt{2x - 1} = \frac{2x + 2\sqrt{2x - 1}}{2}$
Представим $2x$ в числителе как $(2x - 1) + 1$:
$\frac{(2x - 1) + 2\sqrt{2x - 1} + 1}{2}$
В числителе мы получили выражение вида $a^2 + 2ab + b^2$, где $a = \sqrt{2x - 1}$ и $b = 1$. Это формула квадрата суммы $(a+b)^2$.
Таким образом, подкоренное выражение можно записать как $\frac{(\sqrt{2x - 1} + 1)^2}{2}$.

Подставим это выражение обратно в исходное неравенство:
$\sqrt{\frac{(\sqrt{2x - 1} + 1)^2}{2}} < 2$
Извлекая корень, получаем:
$\frac{|\sqrt{2x - 1} + 1|}{\sqrt{2}} < 2$
Поскольку $\sqrt{2x-1} \ge 0$, выражение $\sqrt{2x - 1} + 1$ всегда положительно, поэтому знак модуля можно опустить:
$\frac{\sqrt{2x - 1} + 1}{\sqrt{2}} < 2$
Умножим обе части на $\sqrt{2}$:
$\sqrt{2x - 1} + 1 < 2\sqrt{2}$
$\sqrt{2x - 1} < 2\sqrt{2} - 1$
Правая часть $2\sqrt{2} - 1 = \sqrt{8} - 1 > 0$. Так как обе части неравенства неотрицательны, мы можем снова возвести их в квадрат:
$(\sqrt{2x - 1})^2 < (2\sqrt{2} - 1)^2$
$2x - 1 < (2\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot 1 + 1^2$
$2x - 1 < 8 - 4\sqrt{2} + 1$
$2x - 1 < 9 - 4\sqrt{2}$
$2x < 10 - 4\sqrt{2}$
$x < 5 - 2\sqrt{2}$

Наконец, объединим полученное решение с ОДЗ ($x \ge \frac{1}{2}$). Мы должны удовлетворять системе:
$\begin{cases} x < 5 - 2\sqrt{2} \\ x \ge \frac{1}{2} \end{cases}$
Так как $5 - 2\sqrt{2} \approx 5 - 2 \cdot 1.414 = 2.172$, что больше $\frac{1}{2}$, то решением является промежуток от $\frac{1}{2}$ до $5 - 2\sqrt{2}$.

Ответ: $x \in [\frac{1}{2}, 5 - 2\sqrt{2})$.

4. Решите уравнение $|x - 1| + |x + 2| = \sqrt{9 - x^2}$.

Для решения уравнения $|x - 1| + |x + 2| = \sqrt{9 - x^2}$ сначала определим область допустимых значений (ОДЗ).

Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:$9 - x^2 \ge 0$.

Решая неравенство $(3-x)(3+x) \ge 0$, получаем ОДЗ: $x \in [-3, 3]$.

Далее, для раскрытия модулей, рассмотрим интервалы, на которые числовую ось разбивают точки $x=1$ и $x=-2$. С учетом ОДЗ, рассмотрим три случая.

Случай 1: $x \in [-3, -2)$

На этом интервале $x-1 < 0$ и $x+2 < 0$, поэтому $|x-1| = -(x-1)$ и $|x+2| = -(x+2)$.

Уравнение принимает вид:

$-(x-1) - (x+2) = \sqrt{9 - x^2}$

$-x + 1 - x - 2 = \sqrt{9 - x^2}$

$-2x - 1 = \sqrt{9 - x^2}$

Левая часть должна быть неотрицательной, так как корень в правой части неотрицателен: $-2x - 1 \ge 0 \implies -2x \ge 1 \implies x \le -0.5$. Интервал $x \in [-3, -2)$ удовлетворяет этому условию. Возведем обе части в квадрат:

$(-2x - 1)^2 = 9 - x^2$

$4x^2 + 4x + 1 = 9 - x^2$

$5x^2 + 4x - 8 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = 4^2 - 4(5)(-8) = 16 + 160 = 176$.

Корни: $x = \frac{-4 \pm \sqrt{176}}{10} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{11}}{10} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{11}}{5}$.

Проверим, принадлежат ли корни интервалу $[-3, -2)$.

$x_1 = \frac{-2 + 2\sqrt{11}}{5}$. Поскольку $\sqrt{9} < \sqrt{11} < \sqrt{16}$, то $3 < \sqrt{11} < 4$. Тогда $x_1 = \frac{-2 + 2\sqrt{11}}{5} > \frac{-2+2 \cdot 3}{5} = \frac{4}{5} = 0.8$. Этот корень не входит в интервал $[-3, -2)$.

$x_2 = \frac{-2 - 2\sqrt{11}}{5}$. Проверим неравенство $x_2 < -2$: $\frac{-2 - 2\sqrt{11}}{5} < -2 \iff -2 - 2\sqrt{11} < -10 \iff -2\sqrt{11} < -8 \iff \sqrt{11} > 4$, что неверно, так как $11 < 16$. Следовательно, $x_2 \ge -2$, и корень не входит в интервал $[-3, -2)$.

В этом случае решений нет.

Случай 2: $x \in [-2, 1)$

На этом интервале $x-1 < 0$ и $x+2 \ge 0$, поэтому $|x-1| = -(x-1)$ и $|x+2| = x+2$.

Уравнение принимает вид:

$-(x-1) + (x+2) = \sqrt{9 - x^2}$

$-x + 1 + x + 2 = \sqrt{9 - x^2}$

$3 = \sqrt{9 - x^2}$

Возводим обе части в квадрат:

$9 = 9 - x^2$

$x^2 = 0 \implies x = 0$.

Значение $x=0$ принадлежит интервалу $[-2, 1)$, поэтому является решением.

Случай 3: $x \in [1, 3]$

На этом интервале $x-1 \ge 0$ и $x+2 \ge 0$, поэтому $|x-1| = x-1$ и $|x+2| = x+2$.

Уравнение принимает вид:

$(x-1) + (x+2) = \sqrt{9 - x^2}$

$2x + 1 = \sqrt{9 - x^2}$

Левая часть должна быть неотрицательной: $2x+1 \ge 0 \implies x \ge -0.5$. Интервал $[1, 3]$ удовлетворяет этому условию. Возведем в квадрат:

$(2x + 1)^2 = 9 - x^2$

$4x^2 + 4x + 1 = 9 - x^2$

$5x^2 + 4x - 8 = 0$

Корни этого уравнения, как мы уже нашли, $x_{1,2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{11}}{5}$.

Проверим, принадлежат ли корни интервалу $[1, 3]$.

$x_1 = \frac{-2 + 2\sqrt{11}}{5}$. Проверим неравенство $x_1 \ge 1$: $\frac{-2 + 2\sqrt{11}}{5} \ge 1 \iff -2+2\sqrt{11} \ge 5 \iff 2\sqrt{11} \ge 7 \iff 4 \cdot 11 \ge 49 \iff 44 \ge 49$, что неверно. Следовательно, $x_1 < 1$, и корень не входит в интервал $[1, 3]$.

$x_2 = \frac{-2 - 2\sqrt{11}}{5} < 0$, поэтому он также не входит в интервал $[1, 3]$.

В этом случае решений нет.

Таким образом, единственным решением исходного уравнения является $x=0$.

Ответ: $0$

5. При каких значениях $a$ уравнение $ax^6 + 1 = a^2\sqrt{1-|x|}$ имеет единственный корень?

Исходное уравнение: $ax^6 + 1 = a^2 \sqrt{1 - |x|}$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$1 - |x| \ge 0$

$|x| \le 1$

Это означает, что $x \in [-1, 1]$.

Рассмотрим функции в левой и правой частях уравнения: $f(x) = ax^6 + 1$ и $g(x) = a^2 \sqrt{1 - |x|}$. Обе функции являются четными, так как $f(-x) = a(-x)^6 + 1 = ax^6 + 1 = f(x)$ и $g(-x) = a^2 \sqrt{1 - |-x|} = a^2 \sqrt{1 - |x|} = g(x)$.

Поскольку уравнение состоит из четных функций, если $x_0 \neq 0$ является корнем, то и $-x_0$ также будет корнем. Это означает, что ненулевые корни всегда появляются парами. Чтобы уравнение имело единственный корень, этот корень должен быть $x=0$, так как только ноль равен своему противоположному значению.

Найдем значения параметра $a$, при которых $x=0$ является корнем уравнения. Для этого подставим $x=0$ в исходное уравнение:

$a \cdot 0^6 + 1 = a^2 \sqrt{1 - |0|}$

$1 = a^2 \sqrt{1}$

$a^2 = 1$

Отсюда получаем два возможных значения параметра: $a=1$ и $a=-1$. Теперь нужно проверить каждый из этих случаев, чтобы убедиться, что корень $x=0$ действительно является единственным.

Случай 1: a = 1

При $a=1$ уравнение принимает вид:

$x^6 + 1 = \sqrt{1 - |x|}$

Мы уже установили, что $x=0$ является корнем этого уравнения ($1=1$). Проверим, существуют ли другие корни в области определения $x \in [-1, 1]$.

Рассмотрим левую часть уравнения, $x^6+1$. Для любого $x \in [-1, 1]$, отличного от нуля, $x^6 > 0$, поэтому $x^6 + 1 > 1$.

Рассмотрим правую часть уравнения, $\sqrt{1 - |x|}$. Для любого $x \in [-1, 1]$, отличного от нуля, $|x| > 0$, поэтому $1 - |x| < 1$, и, следовательно, $\sqrt{1 - |x|} < 1$.

Получаем, что для любого $x \neq 0$ из ОДЗ левая часть уравнения строго больше 1, а правая часть — строго меньше 1. Таким образом, равенство невозможно. Это означает, что при $a=1$ других корней, кроме $x=0$, нет.

Случай 2: a = -1

При $a=-1$ уравнение принимает вид:

$-x^6 + 1 = (-1)^2 \sqrt{1 - |x|}$

$-x^6 + 1 = \sqrt{1 - |x|}$

Мы знаем, что $x=0$ является корнем ($1=1$). Проверим, есть ли другие корни. Рассмотрим, например, $x=1$:

Левая часть: $-1^6 + 1 = -1 + 1 = 0$.

Правая часть: $\sqrt{1 - |1|} = \sqrt{1-1} = 0$.

Поскольку левая и правая части равны, $x=1$ является корнем. Так как уравнение четное, $x=-1$ также должен быть корнем, что легко проверить:

Левая часть: $-(-1)^6 + 1 = -1 + 1 = 0$.

Правая часть: $\sqrt{1 - |-1|} = \sqrt{1-1} = 0$.

При $a=-1$ уравнение имеет как минимум три корня: $x=0$, $x=1$ и $x=-1$. Следовательно, корень не является единственным.

Таким образом, единственное значение параметра $a$, при котором исходное уравнение имеет единственный корень, это $a=1$.

Ответ: $a=1$.