gdz.top
Номер 2, страница 47 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2021 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий, красный
ISBN: 978-5-09-087861-6
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика. Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 1. Повторение и расширение сведений о функции. Применение свойств функции - номер 2, страница 47.
№1
№2 (с. 47)
Условие. №2 (с. 47)
2. Решите систему уравнений
$\begin{cases} x^4 - \sqrt{y} = y^4 - \sqrt{x}, \\ x^2 + y^2 = 2. \end{cases}$
Решение 1. №2 (с. 47)
Решение 5. №2 (с. 47)
Определим область допустимых значений (ОДЗ). Из-за наличия в уравнениях выражений $\sqrt{x}$ и $\sqrt{y}$, переменные $x$ и $y$ должны быть неотрицательными: $x \ge 0$, $y \ge 0$.
Преобразуем первое уравнение системы $x^4 - \sqrt{y} = y^4 - \sqrt{x}$, сгруппировав члены с одинаковыми переменными в разных частях уравнения:$x^4 + \sqrt{x} = y^4 + \sqrt{y}$
Рассмотрим функцию $f(t) = t^4 + \sqrt{t}$, определенную на множестве $t \ge 0$. В терминах этой функции первое уравнение системы принимает вид $f(x) = f(y)$.
Исследуем функцию $f(t)$ на монотонность. Найдем ее производную для $t > 0$:$f'(t) = (t^4 + t^{1/2})' = 4t^3 + \frac{1}{2}t^{-1/2} = 4t^3 + \frac{1}{2\sqrt{t}}$
Поскольку для любого $t > 0$ выполняются неравенства $t^3 > 0$ и $\sqrt{t} > 0$, производная $f'(t)$ всегда положительна. Это означает, что функция $f(t)$ является строго возрастающей на всей своей области определения $[0, \infty)$.
Для строго возрастающей функции равенство $f(x) = f(y)$ выполняется тогда и только тогда, когда $x = y$.
Подставим полученное равенство $x = y$ во второе уравнение системы $x^2 + y^2 = 2$:$x^2 + x^2 = 2$$2x^2 = 2$$x^2 = 1$
Учитывая ОДЗ ($x \ge 0$), из уравнения $x^2 = 1$ следует, что $x=1$.
Поскольку $y=x$, то $y$ также равен 1.
Таким образом, единственным решением системы является пара $(1, 1)$. Проверка показывает, что данное решение удовлетворяет обоим уравнениям системы и ОДЗ: $1^4-\sqrt{1}=1^4-\sqrt{1} \implies 0=0$ и $1^2+1^2=2 \implies 2=2$.
Ответ: $(1, 1)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 2 расположенного на странице 47 к учебнику 2021 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №2 (с. 47), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.