Номер 5.26, страница 44 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.26. Решите графически уравнение:

1) $x^2 = 2x + 3;$

2) $x^2 = \frac{8}{x}.$

1) $x^2 = 2x + 3$

Для решения данного уравнения графическим методом необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: $y = x^2$ и $y = 2x + 3$. Абсциссы точек пересечения этих графиков и будут являться решениями исходного уравнения.

1. Построим график функции $y = x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в начале координат, точке $(0; 0)$.
Составим таблицу значений для параболы:

2. Построим график функции $y = 2x + 3$. Это прямая. Для ее построения достаточно двух точек.
Составим таблицу значений для прямой:

3. Построим оба графика в одной системе координат.

Графики пересекаются в двух точках. Найдем их координаты на графике. Это точки $A(-1; 1)$ и $B(3; 9)$.
Абсциссы этих точек $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$ являются решениями уравнения.

Проверка:
Для $x = -1$: $(-1)^2 = 1$, $2(-1) + 3 = -2 + 3 = 1$. $1=1$. Верно.
Для $x = 3$: $3^2 = 9$, $2(3) + 3 = 6 + 3 = 9$. $9=9$. Верно.

Ответ: -1; 3.

2) $x^2 = \frac{8}{x}$

Для решения данного уравнения графическим методом построим в одной системе координат графики функций $y = x^2$ и $y = \frac{8}{x}$. Абсцисса точки пересечения этих графиков будет являться решением уравнения.

1. График функции $y = x^2$ — парабола с вершиной в точке $(0; 0)$ и ветвями, направленными вверх.

2. График функции $y = \frac{8}{x}$ — гипербола. Поскольку коэффициент $8 > 0$, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Ось ординат ($y$) и ось абсцисс ($x$) являются асимптотами. Область определения функции: $x \neq 0$.
Составим таблицу значений для гиперболы:

3. Построим оба графика в одной системе координат.

Графики пересекаются в одной точке. Это происходит в I координатной четверти. В III четверти пересечения нет, так как для $x < 0$ значения функции $y=x^2$ всегда положительны, а значения функции $y=\frac{8}{x}$ — отрицательны.
Координаты точки пересечения: $(2; 4)$. Абсцисса этой точки $x=2$ является единственным решением уравнения.

Проверка:
Для $x = 2$: $2^2 = 4$, $\frac{8}{2} = 4$. $4=4$. Верно.

Ответ: 2.