Номер 5.24, страница 44 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.24. Решите неравенство $\left|\frac{x-1}{x^2-16}\right| \leq \frac{x-1}{x^2-16}$

Данное неравенство имеет вид $|A| \le A$, где $A = \frac{x-1}{x^2-16}$. По свойству модуля, такое неравенство выполняется тогда и только тогда, когда подмодульное выражение $A$ неотрицательно, то есть $A \ge 0$.

Следовательно, исходное неравенство равносильно неравенству:

$\frac{x-1}{x^2-16} \ge 0$

Разложим знаменатель на множители, чтобы применить метод интервалов:

$\frac{x-1}{(x-4)(x+4)} \ge 0$

Найдём точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль. Это точки $x=1$, $x=4$ и $x=-4$. Эти точки разбивают числовую ось на интервалы.

Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому точки $x=-4$ и $x=4$ не входят в решение (на числовой оси они отмечаются как выколотые). Так как неравенство нестрогое ($\ge$), точка, в которой числитель равен нулю ($x=1$), входит в решение (отмечается как закрашенная).

Определим знак выражения на каждом из интервалов. Для этого достаточно определить знак на одном из них, а затем учесть, что при переходе через каждую из точек $x=-4, 1, 4$ знак выражения будет меняться, так как все множители $(x-1), (x-4), (x+4)$ стоят в первой степени (нечётной).

Возьмём пробную точку из крайнего правого интервала $(4, +\infty)$, например, $x=5$. Получим $\frac{5-1}{(5-4)(5+4)} = \frac{4}{1 \cdot 9} > 0$. Таким образом, на интервале $(4, +\infty)$ выражение имеет знак "+". Двигаясь справа налево по числовой оси и чередуя знаки при переходе через точки $4, 1, -4$, получаем, что на интервале $(1, 4)$ знак "-", на интервале $(-4, 1)$ знак "+", и на интервале $(-\infty, -4)$ знак "-".

Нам нужно, чтобы выражение было больше или равно нулю ($\ge 0$). Это соответствует интервалам со знаком "+" и закрашенной точке $x=1$, где выражение равно нулю.

Объединяя полученные результаты, получаем решение: $x \in (-4, 1] \cup (4, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-4, 1] \cup (4, +\infty)$.