Номер 5.20, страница 43 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.20. Решите неравенство:

1) $ \frac{2(x-3)}{x(x-6)} < \frac{1}{x-1} $;

2) $ \frac{2x+3}{x^2+x-12} < \frac{1}{2} $.

1) $ \frac{2(x - 3)}{x(x - 6)} < \frac{1}{x - 1} $

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны равняться нулю, поэтому $x \neq 0$, $x \neq 6$, $x \neq 1$.

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$ \frac{2(x - 3)}{x(x - 6)} - \frac{1}{x - 1} < 0 $

Приведем дроби к общему знаменателю $x(x - 6)(x - 1)$:

$ \frac{2(x - 3)(x - 1) - x(x - 6)}{x(x - 6)(x - 1)} < 0 $

Раскроем скобки и упростим числитель:

$ \frac{2(x^2 - x - 3x + 3) - (x^2 - 6x)}{x(x - 6)(x - 1)} < 0 $

$ \frac{2(x^2 - 4x + 3) - x^2 + 6x}{x(x - 6)(x - 1)} < 0 $

$ \frac{2x^2 - 8x + 6 - x^2 + 6x}{x(x - 6)(x - 1)} < 0 $

$ \frac{x^2 - 2x + 6}{x(x - 6)(x - 1)} < 0 $

Рассмотрим числитель $x^2 - 2x + 6$. Найдем его дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 4 - 24 = -20$.

Так как дискриминант $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$), то квадратный трехчлен $x^2 - 2x + 6$ положителен при любых значениях $x$.

Поскольку числитель всегда положителен, знак дроби определяется знаком знаменателя. Таким образом, исходное неравенство равносильно неравенству:

$ x(x - 1)(x - 6) < 0 $

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни выражения в левой части: $x=0$, $x=1$, $x=6$. Эти точки делят числовую прямую на четыре интервала. Определим знак выражения на каждом из них:

• При $x > 6$ (например, $x=7$): $7(7-1)(7-6) > 0$. Знак (+).
• При $1 < x < 6$ (например, $x=2$): $2(2-1)(2-6) < 0$. Знак (-).
• При $0 < x < 1$ (например, $x=0.5$): $0.5(0.5-1)(0.5-6) > 0$. Знак (+).
• При $x < 0$ (например, $x=-1$): $(-1)(-1-1)(-1-6) < 0$. Знак (-).

Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля. Это $(-\infty; 0)$ и $(1; 6)$. Эти интервалы удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (1; 6)$.

2) $ \frac{2x + 3}{x^2 + x - 12} < \frac{1}{2} $

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$ \frac{2x + 3}{x^2 + x - 12} - \frac{1}{2} < 0 $

Разложим знаменатель $x^2 + x - 12$ на множители. Найдем корни уравнения $x^2 + x - 12 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 3$ и $x_2 = -4$. Следовательно, $x^2 + x - 12 = (x - 3)(x + 4)$.

Неравенство принимает вид:

$ \frac{2x + 3}{(x - 3)(x + 4)} - \frac{1}{2} < 0 $

Приведем дроби к общему знаменателю $2(x - 3)(x + 4)$:

$ \frac{2(2x + 3) - 1(x - 3)(x + 4)}{2(x - 3)(x + 4)} < 0 $

Упростим числитель:

$ \frac{4x + 6 - (x^2 + 4x - 3x - 12)}{2(x - 3)(x + 4)} < 0 $

$ \frac{4x + 6 - (x^2 + x - 12)}{2(x - 3)(x + 4)} < 0 $

$ \frac{4x + 6 - x^2 - x + 12}{2(x - 3)(x + 4)} < 0 $

$ \frac{-x^2 + 3x + 18}{2(x - 3)(x + 4)} < 0 $

Умножим обе части неравенства на -1, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным, и изменим знак неравенства на противоположный:

$ \frac{x^2 - 3x - 18}{2(x - 3)(x + 4)} > 0 $

Положительный множитель 2 в знаменателе не влияет на знак дроби, поэтому неравенство равносильно:

$ \frac{x^2 - 3x - 18}{(x - 3)(x + 4)} > 0 $

Разложим на множители числитель $x^2 - 3x - 18$. Корни уравнения $x^2 - 3x - 18 = 0$ по теореме Виета $x_1 = 6$ и $x_2 = -3$. Значит, $x^2 - 3x - 18 = (x - 6)(x + 3)$.

Получаем неравенство:

$ \frac{(x - 6)(x + 3)}{(x - 3)(x + 4)} > 0 $

Решим его методом интервалов. Найдем нули числителя ($x=6, x=-3$) и нули знаменателя ($x=3, x=-4$). Отметим эти точки на числовой прямой (все точки выколотые, так как неравенство строгое) и определим знаки выражения в полученных интервалах:

• При $x > 6$: $\frac{(+)(+)}{(+)(+)} > 0$. Знак (+).
• При $3 < x < 6$: $\frac{(-)(+)}{(+)(+)} < 0$. Знак (-).
• При $-3 < x < 3$: $\frac{(-)(+)}{(-)(+)} > 0$. Знак (+).
• При $-4 < x < -3$: $\frac{(-)(-)}{(-)(+)} < 0$. Знак (-).
• При $x < -4$: $\frac{(-)(-)}{(-)(-)} > 0$. Знак (+).

Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля.

Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (-3; 3) \cup (6; +\infty)$.