Номер 5.17, страница 43 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.17. Найдите множество решений неравенства:

1) $\frac{x^3 (x - 1)^4 (x + 5)}{(x - 8)(1 - 4x)} > 0;$

2) $\frac{(x - 2)(2x + 1)^3}{(3 - x)^4 (1 - 5x)^5} > 0;$

3) $\frac{(x - 3)(5x + 2)(x + 3)}{(x - 1)(x + 4)^2} \ge 0;$

4) $\frac{x^5 |3x - 1|(x + 3)}{x - 2} \le 0;$

5) $\frac{(2 - x)(4x + 3)}{(x - 3)^3 (x + 1)^2} \le 0;$

6) $\frac{(x + 6)^3 (x + 4)(6 - x)^5}{|x + 5|} \ge 0.$

1) Решим неравенство $\frac{x^3(x-1)^4(x+5)}{(x-8)(1-4x)} > 0$ методом интервалов.

Сначала найдем нули числителя и знаменателя.
Нули числителя: $x^3=0 \Rightarrow x=0$ (корень нечетной кратности 3), $(x-1)^4=0 \Rightarrow x=1$ (корень четной кратности 4), $x+5=0 \Rightarrow x=-5$ (корень нечетной кратности 1).
Нули знаменателя: $x-8=0 \Rightarrow x=8$ (корень нечетной кратности 1), $1-4x=0 \Rightarrow x=1/4$ (корень нечетной кратности 1).

Приведем неравенство к стандартному виду, чтобы все множители были вида $(x-a)$. Множитель $(1-4x)$ запишем как $-(4x-1) = -4(x-1/4)$.
Неравенство принимает вид: $\frac{x^3(x-1)^4(x+5)}{(x-8)(-4(x-1/4))} > 0$.
Разделим обе части на -4 и сменим знак неравенства: $\frac{x^3(x-1)^4(x+5)}{(x-8)(x-1/4)} < 0$.

Отметим на числовой оси все найденные точки: -5, 0, 1/4, 1, 8.
Определим знак выражения в крайнем правом интервале $(8, \infty)$. Возьмем $x=10$: $\frac{10^3(9)^4(15)}{(2)(9.75)} > 0$.
Двигаясь справа налево, меняем знак при переходе через корень нечетной кратности и сохраняем знак при переходе через корень четной кратности.
Точки с нечетной кратностью: -5, 0, 1/4, 8.
Точка с четной кратностью: 1.

Знаки на интервалах для $\frac{x^3(x-1)^4(x+5)}{(x-8)(x-1/4)}$:
$(-\infty, -5)$: -; $(-5, 0)$: +; $(0, 1/4)$: -; $(1/4, 1)$: +; $(1, 8)$: +; $(8, \infty)$: -.
Хм, я ошибся в расчетах выше. Давайте перепроверим знак в $(8, \infty)$ для исходного выражения. $f(x) = \frac{x^3(x-1)^4(x+5)}{(x-8)(1-4x)}$. При $x=10$, $f(10) = \frac{(+)(+)(+)}{(+)(-)} < 0$.
Знаки для исходного выражения:
$(-\infty, -5)$: -; $(-5, 0)$: +; $(0, 1/4)$: -; $(1/4, 1)$: +; $(1, 8)$: +; $(8, \infty)$: -.

Нам нужно найти, где $\frac{x^3(x-1)^4(x+5)}{(x-8)(1-4x)} > 0$. Это интервалы $(-5, 0)$ и $(1/4, 8)$. Точка $x=1$ является нулем числителя, поэтому она не входит в решение, так как неравенство строгое.
Ответ: $x \in (-5, 0) \cup (1/4, 1) \cup (1, 8)$.

2) Решим неравенство $\frac{(x-2)(2x+1)^3}{(3-x)^4(1-5x)^5} > 0$.

Нули числителя: $x-2=0 \Rightarrow x=2$ (нечетная кратность), $2x+1=0 \Rightarrow x=-1/2$ (нечетная кратность).
Нули знаменателя: $3-x=0 \Rightarrow x=3$ (четная кратность), $1-5x=0 \Rightarrow x=1/5$ (нечетная кратность).

Приведем к стандартному виду: $(3-x)^4 = (-(x-3))^4 = (x-3)^4$; $(1-5x)^5 = (-(5x-1))^5 = -(5x-1)^5$.
Неравенство: $\frac{(x-2)(2x+1)^3}{(x-3)^4(-(5x-1)^5)} > 0$.
Умножим на -1 и сменим знак: $\frac{(x-2)(2(x+1/2))^3}{(x-3)^4(5(x-1/5))^5} < 0$.
Константы $2^3$ и $5^5$ положительны и не влияют на знак, поэтому решаем $\frac{(x-2)(x+1/2)^3}{(x-3)^4(x-1/5)^5} < 0$.

Точки на оси: -1/2, 1/5, 2, 3.
Кратность корней: $x=2$ (1, нечет), $x=-1/2$ (3, нечет), $x=3$ (4, чет), $x=1/5$ (5, нечет).
Знак в крайнем правом интервале $(3, \infty)$: для $x=4$ выражение $\frac{(+)(+)}{(+)(+)} > 0$.
Знаки на интервалах: $(-\infty, -1/2)$: -; $(-1/2, 1/5)$: +; $(1/5, 2)$: -; $(2, 3)$: +; $(3, \infty)$: +.

Нам нужно, чтобы выражение было меньше 0.
Ответ: $x \in (-\infty, -1/2) \cup (1/5, 2)$.

3) Решим неравенство $\frac{(x-3)(5x+2)(x+3)}{(x-1)(x+4)^2} \ge 0$.

Нули числителя: $x=3$, $x=-2/5$, $x=-3$.
Нули знаменателя: $x=1$, $x=-4$ (четная кратность 2).
Все множители, кроме $5x+2=5(x+2/5)$, приведены к стандартному виду. Неравенство эквивалентно $\frac{(x-3)(x+2/5)(x+3)}{(x-1)(x+4)^2} \ge 0$.

Точки на оси: -4, -3, -2/5, 1, 3.
Знак в крайнем правом интервале $(3, \infty)$: +.
Знаки на интервалах: $(-\infty, -4)$: +; $(-4, -3)$: +; $(-3, -2/5)$: -; $(-2/5, 1)$: +; $(1, 3)$: -; $(3, \infty)$: +.

Неравенство нестрогое, поэтому включаем нули числителя: -3, -2/5, 3. Нули знаменателя всегда исключаются: -4, 1.
Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup (-4, -3] \cup [-2/5, 1) \cup [3, \infty)$.

4) Решим неравенство $\frac{x^5|3x-1|(x+3)}{x-2} \le 0$.

Область допустимых значений: $x \ne 2$.
Множитель $|3x-1| \ge 0$ при всех $x$.
Рассмотрим два случая:
1) $|3x-1| = 0 \Rightarrow 3x-1=0 \Rightarrow x=1/3$. При $x=1/3$ левая часть неравенства равна 0, что удовлетворяет условию $0 \le 0$. Значит, $x=1/3$ является решением.
2) $|3x-1| > 0 \Rightarrow x \ne 1/3$. Можно разделить обе части неравенства на положительное число $|3x-1|$ без изменения знака.
Получаем $\frac{x^5(x+3)}{x-2} \le 0$.

Решаем $\frac{x^5(x+3)}{x-2} \le 0$ методом интервалов.
Точки на оси: -3, 0, 2. Все корни нечетной кратности.
Знак в крайнем правом интервале $(2, \infty)$: +.
Знаки на интервалах: $(-\infty, -3)$: -; $(-3, 0)$: +; $(0, 2)$: -; $(2, \infty)$: +.
Решение $\frac{x^5(x+3)}{x-2} \le 0$ есть $(-\infty, -3] \cup [0, 2)$.

Объединяя решение $x=1/3$ с полученным множеством, и учитывая, что $1/3 \in [0, 2)$, окончательное решение не меняется.
Ответ: $x \in (-\infty, -3] \cup [0, 2)$.

5) Решим неравенство $\frac{(2-x)(4x+3)}{(x-3)^3(x+1)^2} \le 0$.

Нули числителя: $x=2$, $x=-3/4$.
Нули знаменателя: $x=3$ (нечетная кратность), $x=-1$ (четная кратность).
Приведем к стандартному виду: $2-x = -(x-2)$, $4x+3=4(x+3/4)$.
Неравенство: $\frac{-(x-2) \cdot 4(x+3/4)}{(x-3)^3(x+1)^2} \le 0$.
Разделим на -4 и сменим знак: $\frac{(x-2)(x+3/4)}{(x-3)^3(x+1)^2} \ge 0$.

Точки на оси: -1, -3/4, 2, 3.
Знак в крайнем правом интервале $(3, \infty)$: +.
Знаки на интервалах: $(-\infty, -1)$: -; $(-1, -3/4)$: -; $(-3/4, 2)$: +; $(2, 3)$: -; $(3, \infty)$: +.

Неравенство $\ge 0$, поэтому включаем нули числителя ($x=2, x=-3/4$) и исключаем нули знаменателя ($x=3, x=-1$).
Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, -3/4] \cup [2, 3)$.

6) Решим неравенство $\frac{(x+6)^3(x+4)(6-x)^5}{|x+5|} \ge 0$.

Знаменатель $|x+5|$ всегда положителен, кроме точки $x=-5$, где он равен нулю. Таким образом, ОДЗ: $x \ne -5$.
На ОДЗ можно умножить неравенство на $|x+5| > 0$, знак неравенства не изменится:
$(x+6)^3(x+4)(6-x)^5 \ge 0$.

Приведем множитель $(6-x)^5$ к стандартному виду: $(6-x)^5 = (-(x-6))^5 = -(x-6)^5$.
Неравенство принимает вид: $-(x+6)^3(x+4)(x-6)^5 \ge 0$.
Разделим на -1 и сменим знак: $(x+6)^3(x+4)(x-6)^5 \le 0$.

Решаем методом интервалов. Точки на оси: -6, -4, 6. Все корни нечетной кратности.
Знак в крайнем правом интервале $(6, \infty)$: +.
Знаки на интервалах: $(-\infty, -6)$: -; $(-6, -4)$: +; $(-4, 6)$: -; $(6, \infty)$: +.

Нам нужно, чтобы выражение было $\le 0$.
Решение: $(-\infty, -6] \cup [-4, 6]$.
Учтем ОДЗ $x \ne -5$. Точка -5 не входит в полученные интервалы (так как $-5 > -6$ и $-5 < -4$), поэтому решение не меняется.
Ответ: $x \in (-\infty, -6] \cup [-4, 6]$.