Номер 5.16, страница 43 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.16. Решите неравенство:

1) $(3 - x)^3(x + 2)^2(x - 1)(2x - 5) < 0;$

2) $(x^2 - 4)(x^2 + x - 2) \le 0;$

3) $(x^3 - 4x)(x^2 + 2x - 8)(x^2 + 7x + 10) \le 0.$

1) Решим неравенство $(3 - x)^3(x + 2)^2(x - 1)(2x - 5) < 0$.

Для удобства приведем множитель $(3-x)$ к стандартному виду $(x-a)$.
$(3 - x)^3 = (-(x - 3))^3 = (-1)^3(x - 3)^3 = -(x - 3)^3$.
Неравенство принимает вид:
$-(x - 3)^3(x + 2)^2(x - 1)(2x - 5) < 0$.
Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:
$(x - 3)^3(x + 2)^2(x - 1)(2x - 5) > 0$.
Теперь решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни левой части, приравняв каждый множитель к нулю:
$x - 3 = 0 \implies x_1 = 3$ (корень кратности 3, нечетной);
$x + 2 = 0 \implies x_2 = -2$ (корень кратности 2, четной);
$x - 1 = 0 \implies x_3 = 1$ (корень кратности 1, нечетной);
$2x - 5 = 0 \implies x_4 = 2.5$ (корень кратности 1, нечетной).
Отметим эти корни на числовой оси. Так как неравенство строгое, все точки будут выколотыми.

Определим знак на крайнем правом интервале (при $x > 3$, например $x = 4$): $(+)(+)(+)(+) > 0$. Знак «+».
Двигаясь справа налево, меняем знак при переходе через корень нечетной кратности и сохраняем знак при переходе через корень четной кратности.
- Интервал $(3, +\infty)$: +
- Переход через $x=3$ (нечетная кратность): знак меняется. Интервал $(2.5, 3)$: -
- Переход через $x=2.5$ (нечетная кратность): знак меняется. Интервал $(1, 2.5)$: +
- Переход через $x=1$ (нечетная кратность): знак меняется. Интервал $(-2, 1)$: -
- Переход через $x=-2$ (четная кратность): знак сохраняется. Интервал $(-\infty, -2)$: -
Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля (знак «+»). Это $(1, 2.5)$ и $(3, +\infty)$.
Ответ: $x \in (1; 2.5) \cup (3; +\infty)$.

2) Решим неравенство $(x^2 - 4)(x^2 + x - 2) \le 0$.

Разложим каждый квадратный трехчлен на множители.
$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$ (формула разности квадратов).
Для $x^2 + x - 2$, найдем корни уравнения $x^2 + x - 2 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.
Тогда $x^2 + x - 2 = (x - 1)(x - (-2)) = (x - 1)(x + 2)$.
Подставим разложения в исходное неравенство:
$(x - 2)(x + 2)(x - 1)(x + 2) \le 0$.
Сгруппируем множители:
$(x - 2)(x - 1)(x + 2)^2 \le 0$.
Найдем корни левой части:
$x - 2 = 0 \implies x_1 = 2$ (корень кратности 1, нечетной);
$x - 1 = 0 \implies x_2 = 1$ (корень кратности 1, нечетной);
$x + 2 = 0 \implies x_3 = -2$ (корень кратности 2, четной).
Неравенство нестрогое, поэтому все корни включаются в решение. Отметим их на числовой оси закрашенными точками.

Определим знаки на интервалах. При $x > 2$ (например $x=3$), выражение $(+)(+)(+) > 0$. Знак «+».
- Интервал $(2, +\infty)$: +
- Переход через $x=2$ (нечетная кратность): знак меняется. Интервал $(1, 2)$: -
- Переход через $x=1$ (нечетная кратность): знак меняется. Интервал $(-2, 1)$: +
- Переход через $x=-2$ (четная кратность): знак сохраняется. Интервал $(-\infty, -2)$: +
Нам нужны промежутки, где выражение меньше или равно нулю. Это интервал $[1, 2]$. Также, поскольку неравенство нестрогое, нужно включить корень $x=-2$, в котором выражение равно нулю.
Ответ: $x \in \{-2\} \cup [1; 2]$.

3) Решим неравенство $(x^3 - 4x)(x^2 + 2x - 8)(x^2 + 7x + 10) \le 0$.

Разложим на множители каждый сомножитель.
$x^3 - 4x = x(x^2 - 4) = x(x - 2)(x + 2)$.
$x^2 + 2x - 8 = 0$. Корни по теореме Виета: $x_1 = 2, x_2 = -4$. Значит, $x^2 + 2x - 8 = (x - 2)(x + 4)$.
$x^2 + 7x + 10 = 0$. Корни по теореме Виета: $x_1 = -2, x_2 = -5$. Значит, $x^2 + 7x + 10 = (x + 2)(x + 5)$.
Подставим разложения в неравенство:
$x(x - 2)(x + 2)(x - 2)(x + 4)(x + 2)(x + 5) \le 0$.
Сгруппируем и упорядочим множители:
$(x + 5)(x + 4)x(x + 2)^2(x - 2)^2 \le 0$.
Найдем корни: $x = -5, x = -4, x = 0$ (все нечетной кратности 1), $x = -2, x = 2$ (оба четной кратности 2).
Неравенство нестрогое, все корни включаем в решение.

Определим знаки. При $x > 2$ (например $x=3$), выражение $(+)(+)(+)(+)(+) > 0$. Знак «+».
- Интервал $(2, +\infty)$: +
- Переход через $x=2$ (четная кратность): знак сохраняется. Интервал $(0, 2)$: +
- Переход через $x=0$ (нечетная кратность): знак меняется. Интервал $(-2, 0)$: -
- Переход через $x=-2$ (четная кратность): знак сохраняется. Интервал $(-4, -2)$: -
- Переход через $x=-4$ (нечетная кратность): знак меняется. Интервал $(-5, -4)$: +
- Переход через $x=-5$ (нечетная кратность): знак меняется. Интервал $(-\infty, -5)$: -
Выбираем промежутки со знаком «-» и добавляем все корни, так как неравенство нестрогое. Промежутки: $(-\infty, -5]$ и $[-4, 0]$.
Также в решении будут изолированные точки, в которых выражение равно нулю, но которые не вошли в отрицательные интервалы. Это корень $x=2$. Корень $x=-2$ уже включен в отрезок $[-4, 0]$.
Объединяя все, получаем решение.
Ответ: $x \in (-\infty; -5] \cup [-4; 0] \cup \{2\}$.