Номер 5.18, страница 43 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.18. Решите неравенство:

1) $\frac{(x-1)(x-2)^2}{(x-3)^3} \le 0;$

2) $\frac{(x-1)^2(x+2)^3}{x-5} \ge 0;$

3) $\frac{x^2(x^2-1)}{x-4} > 0;$

4) $\frac{(x-1)^2(x-2)^3(x-3)^4}{x^5} \le 0.$

1) Решим неравенство $\frac{(x-1)(x-2)^2}{(x-3)^3} \le 0$.

Для решения используем метод интервалов. Сначала найдем нули числителя и знаменателя.

Нули числителя: $(x-1)(x-2)^2 = 0$, откуда $x=1$ и $x=2$. Эти точки могут быть решениями, так как неравенство нестрогое ($\le$).

Нули знаменателя: $(x-3)^3 = 0$, откуда $x=3$. Эта точка не может быть решением, так как деление на ноль недопустимо (точка выкалывается).

Отметим точки $1, 2, 3$ на числовой оси. Они разбивают ось на четыре интервала: $(-\infty; 1)$, $(1; 2)$, $(2; 3)$, $(3; +\infty)$.

Определим знак выражения в каждом интервале. Возьмем пробную точку из крайнего правого интервала, например, $x=4$:

$\frac{(4-1)(4-2)^2}{(4-3)^3} = \frac{3 \cdot 2^2}{1^3} = 12 > 0$. Значит, на интервале $(3; +\infty)$ выражение положительно.

Далее, двигаясь справа налево, будем менять знак при переходе через точки, если соответствующий множитель стоит в нечетной степени, и не менять, если в четной.

• При переходе через точку $x=3$ (множитель $(x-3)^3$, степень 3 – нечетная), знак меняется с «+» на «−». На интервале $(2; 3)$ выражение отрицательно.
• При переходе через точку $x=2$ (множитель $(x-2)^2$, степень 2 – четная), знак не меняется. На интервале $(1; 2)$ выражение также отрицательно.
• При переходе через точку $x=1$ (множитель $(x-1)^1$, степень 1 – нечетная), знак меняется с «−» на «+». На интервале $(-\infty; 1)$ выражение положительно.

Нам нужны значения $x$, при которых выражение меньше или равно нулю. Это интервалы, где стоит знак «−», а также нули числителя.

Выражение отрицательно на $(1; 2) \cup (2; 3)$.

Выражение равно нулю при $x=1$ и $x=2$.

Объединяя эти множества, получаем: $[1; 2] \cup (2; 3)$, что можно записать как $[1; 3)$.

Ответ: $x \in [1; 3)$.

2) Решим неравенство $\frac{(x-1)^2(x+2)^3}{x-5} \ge 0$.

Применяем метод интервалов. Находим нули числителя и знаменателя.

Нули числителя: $(x-1)^2(x+2)^3 = 0$, откуда $x=1$ и $x=-2$.

Нули знаменателя: $x-5=0$, откуда $x=5$.

Отмечаем точки $-2, 1, 5$ на числовой оси. Точки $-2$ и $1$ закрашенные, точка $5$ выколотая.

Определяем знаки на интервалах. Возьмем $x=6$:

$\frac{(6-1)^2(6+2)^3}{6-5} = \frac{5^2 \cdot 8^3}{1} > 0$. На $(5; +\infty)$ знак «+».

• При переходе через $x=5$ (множитель $(x-5)^1$, степень 1 – нечетная), знак меняется на «−». На $(1; 5)$ знак «−».
• При переходе через $x=1$ (множитель $(x-1)^2$, степень 2 – четная), знак не меняется. На $(-2; 1)$ знак «−».
• При переходе через $x=-2$ (множитель $(x+2)^3$, степень 3 – нечетная), знак меняется на «+». На $(-\infty; -2)$ знак «+».

Нам нужны значения $x$, при которых выражение больше или равно нулю. Это интервалы со знаком «+» и нули числителя.

Выражение положительно на $(-\infty; -2) \cup (5; +\infty)$.

Выражение равно нулю при $x=-2$ и $x=1$.

Объединяем: $(-\infty; -2] \cup (5; +\infty) \cup \{1\}$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2] \cup \{1\} \cup (5; +\infty)$.

3) Решим неравенство $\frac{x^2(x^2-1)}{x-4} > 0$.

Сначала разложим числитель на множители: $x^2-1 = (x-1)(x+1)$. Неравенство принимает вид: $\frac{x^2(x-1)(x+1)}{x-4} > 0$.

Нули числителя: $x^2(x-1)(x+1)=0$, откуда $x=0$, $x=1$, $x=-1$.

Нули знаменателя: $x-4=0$, откуда $x=4$.

Так как неравенство строгое ($>$), все точки будут выколотыми.

Отмечаем точки $-1, 0, 1, 4$ на числовой оси. Определяем знаки. Возьмем $x=5$:

$\frac{5^2(5-1)(5+1)}{5-4} = \frac{25 \cdot 4 \cdot 6}{1} > 0$. На $(4; +\infty)$ знак «+».

• При переходе через $x=4$ (степень 1 – нечетная), знак меняется на «−». На $(1; 4)$ знак «−».
• При переходе через $x=1$ (степень 1 – нечетная), знак меняется на «+». На $(0; 1)$ знак «+».
• При переходе через $x=0$ (множитель $x^2$, степень 2 – четная), знак не меняется. На $(-1; 0)$ знак «+».
• При переходе через $x=-1$ (степень 1 – нечетная), знак меняется на «−». На $(-\infty; -1)$ знак «−».

Нам нужны значения $x$, при которых выражение строго больше нуля. Это интервалы со знаком «+».

Выражение положительно на $(-1; 0) \cup (0; 1) \cup (4; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-1; 0) \cup (0; 1) \cup (4; +\infty)$.

4) Решим неравенство $\frac{(x-1)^2(x-2)^3(x-3)^4}{x^5} \le 0$.

Применяем метод интервалов.

Нули числителя: $(x-1)^2(x-2)^3(x-3)^4=0$, откуда $x=1$, $x=2$, $x=3$.

Нули знаменателя: $x^5=0$, откуда $x=0$.

Отмечаем точки $0, 1, 2, 3$ на оси. Точка $0$ выколотая, точки $1, 2, 3$ закрашенные.

Определяем знаки на интервалах. Возьмем $x=4$:

$\frac{(4-1)^2(4-2)^3(4-3)^4}{4^5} > 0$. На $(3; +\infty)$ знак «+».

• При переходе через $x=3$ (множитель $(x-3)^4$, степень 4 – четная), знак не меняется. На $(2; 3)$ знак «+».
• При переходе через $x=2$ (множитель $(x-2)^3$, степень 3 – нечетная), знак меняется на «−». На $(1; 2)$ знак «−».
• При переходе через $x=1$ (множитель $(x-1)^2$, степень 2 – четная), знак не меняется. На $(0; 1)$ знак «−».
• При переходе через $x=0$ (множитель $x^5$, степень 5 – нечетная), знак меняется на «+». На $(-\infty; 0)$ знак «+».

Нам нужны значения $x$, при которых выражение меньше или равно нулю. Это интервалы со знаком «−» и нули числителя.

Выражение отрицательно на $(0; 1) \cup (1; 2)$.

Выражение равно нулю при $x=1, x=2, x=3$.

Объединяем: $(0; 1) \cup (1; 2) \cup \{1, 2, 3\}$.

Объединение $(0; 1) \cup \{1\} \cup (1; 2) \cup \{2\}$ дает интервал $(0; 2]$.

К этому результату нужно добавить оставшуюся точку $x=3$.

Итоговое решение: $(0; 2] \cup \{3\}$.

Ответ: $x \in (0; 2] \cup \{3\}$.