Номер 5.15, страница 42 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.15. Решите неравенство:

1) $(2x + 3)(1 - 4x)^4(x - 2)^3(x + 6) < 0;$

2) $(1 - 3x)^3(x + 2)^2(x + 4)^5(x - 3) > 0;$

3) $(x^2 + 2x - 15)(x^2 - 4x + 3)(x - 1) \le 0;$

4) $(1 - 2x)(x - 3)^9(2x + 7)^6(x + 4)(x - 2)^2 > 0.$

1) $(2x + 3)(1 - 4x)^4(x - 2)^3(x + 6) < 0$

Для решения данного неравенства используем метод интервалов. Сначала найдем корни (нули) каждого множителя, которые разделят числовую ось на интервалы.

$2x + 3 = 0 \Rightarrow x = -1.5$ (корень нечетной кратности 1)
$1 - 4x = 0 \Rightarrow x = 0.25$ (корень четной кратности 4)
$x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$ (корень нечетной кратности 3)
$x + 6 = 0 \Rightarrow x = -6$ (корень нечетной кратности 1)

Отметим эти точки на числовой оси в порядке возрастания: $-6$, $-1.5$, $0.25$, $2$. Так как неравенство строгое ($<0$), все точки будут "выколотыми".

Определим знак выражения в самом правом интервале $(2, \infty)$, взяв пробную точку, например, $x=10$:
$(2 \cdot 10 + 3)(1 - 4 \cdot 10)^4(10 - 2)^3(10 + 6) = (+)(+)(+)(+) = +$

Теперь движемся справа налево по числовой оси. При переходе через корень нечетной кратности знак меняется, а при переходе через корень четной кратности — сохраняется.

• Интервал $(2, \infty)$: знак $+$
• Переходим через $x=2$ (нечетная кратность): знак меняется на $-$. Интервал $(0.25, 2)$: знак $-$
• Переходим через $x=0.25$ (четная кратность): знак сохраняется. Интервал $(-1.5, 0.25)$: знак $-$
• Переходим через $x=-1.5$ (нечетная кратность): знак меняется на $+$. Интервал $(-6, -1.5)$: знак $+$
• Переходим через $x=-6$ (нечетная кратность): знак меняется на $-$. Интервал $(-\infty, -6)$: знак $-$

Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля (знак $-$). Это $(-\infty, -6)$, $(-1.5, 0.25)$ и $(0.25, 2)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -6) \cup (-1.5, 0.25) \cup (0.25, 2)$

2) $(1 - 3x)^3(x + 2)^2(x + 4)^5(x - 3) > 0$

Преобразуем множитель $(1-3x)^3$ для удобства: $(1-3x)^3 = (-(3x-1))^3 = -(3x-1)^3$.
Неравенство принимает вид: $-(3x-1)^3(x + 2)^2(x + 4)^5(x - 3) > 0$.
Домножим обе части на $-1$ и изменим знак неравенства на противоположный: $(3x-1)^3(x + 2)^2(x + 4)^5(x - 3) < 0$.

Находим корни:

$3x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1/3$ (нечетная кратность 3)
$x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$ (четная кратность 2)
$x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4$ (нечетная кратность 5)
$x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$ (нечетная кратность 1)

Располагаем корни на числовой оси: $-4$, $-2$, $1/3$, $3$.

Определяем знак в крайнем правом интервале $(3, \infty)$ для преобразованного неравенства, взяв $x=10$:
$(+)(+)(+)(+) = +$

Движемся справа налево:

• Интервал $(3, \infty)$: знак $+$
• Переходим через $x=3$ (нечетная кратность): знак меняется на $-$. Интервал $(1/3, 3)$: знак $-$
• Переходим через $x=1/3$ (нечетная кратность): знак меняется на $+$. Интервал $(-2, 1/3)$: знак $+$
• Переходим через $x=-2$ (четная кратность): знак сохраняется. Интервал $(-4, -2)$: знак $+$
• Переходим через $x=-4$ (нечетная кратность): знак меняется на $-$. Интервал $(-\infty, -4)$: знак $-$

Ищем интервалы, где выражение меньше нуля (знак $-$). Это $(-\infty, -4)$ и $(1/3, 3)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup (1/3, 3)$

3) $(x^2 + 2x - 15)(x^2 - 4x + 3)(x - 1) \le 0$

Сначала разложим квадратные трехчлены на множители.

Для $x^2 + 2x - 15$: по теореме Виета корни $x_1 = -5$ и $x_2 = 3$. Таким образом, $x^2 + 2x - 15 = (x+5)(x-3)$.

Для $x^2 - 4x + 3$: по теореме Виета корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$. Таким образом, $x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)$.

Подставим разложения в исходное неравенство:
$(x+5)(x-3)(x-1)(x-3)(x-1) \le 0$
Сгруппируем одинаковые множители:
$(x+5)(x-1)^2(x-3)^2 \le 0$

Находим корни:

$x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5$ (нечетная кратность 1)
$x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$ (четная кратность 2)
$x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$ (четная кратность 2)

Располагаем корни на числовой оси: $-5$, $1$, $3$. Так как неравенство нестрогое ($\le 0$), точки будут "закрашенными".

Определяем знак в интервале $(3, \infty)$ при $x=10$: $(+)(+)^2(+)^2 = +$.

Движемся справа налево:

• Интервал $(3, \infty)$: знак $+$
• Переходим через $x=3$ (четная кратность): знак сохраняется. Интервал $(1, 3)$: знак $+$
• Переходим через $x=1$ (четная кратность): знак сохраняется. Интервал $(-5, 1)$: знак $+$
• Переходим через $x=-5$ (нечетная кратность): знак меняется на $-$. Интервал $(-\infty, -5)$: знак $-$

Нам нужны участки, где выражение меньше или равно нулю. Меньше нуля на интервале $(-\infty, -5]$. Равно нулю в точках $x=-5, x=1, x=3$. Объединяя эти результаты, получаем решение.

Ответ: $x \in (-\infty, -5] \cup \{1\} \cup \{3\}$

4) $(1 - 2x)(x - 3)^9(2x + 7)^6(x + 4)(x - 2)^2 > 0$

Преобразуем множитель $(1-2x) = -(2x-1)$. Неравенство примет вид:
$-(2x-1)(x - 3)^9(2x + 7)^6(x + 4)(x - 2)^2 > 0$.
Домножим на $-1$ и изменим знак неравенства:
$(2x-1)(x - 3)^9(2x + 7)^6(x + 4)(x - 2)^2 < 0$.

Находим корни и их кратность:

$2x - 1 = 0 \Rightarrow x = 0.5$ (нечетная кратность 1)
$x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$ (нечетная кратность 9)
$2x + 7 = 0 \Rightarrow x = -3.5$ (четная кратность 6)
$x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4$ (нечетная кратность 1)
$x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$ (четная кратность 2)

Располагаем корни на числовой оси: $-4$, $-3.5$, $0.5$, $2$, $3$.

Определяем знак в крайнем правом интервале $(3, \infty)$ для преобразованного неравенства, взяв $x=10$: $(+)(+)(+)(+)(+) = +$.

Движемся справа налево:

• Интервал $(3, \infty)$: знак $+$
• Переходим через $x=3$ (нечетная кратность): знак меняется на $-$. Интервал $(2, 3)$: знак $-$
• Переходим через $x=2$ (четная кратность): знак сохраняется. Интервал $(0.5, 2)$: знак $-$
• Переходим через $x=0.5$ (нечетная кратность): знак меняется на $+$. Интервал $(-3.5, 0.5)$: знак $+$
• Переходим через $x=-3.5$ (четная кратность): знак сохраняется. Интервал $(-4, -3.5)$: знак $+$
• Переходим через $x=-4$ (нечетная кратность): знак меняется на $-$. Интервал $(-\infty, -4)$: знак $-$

Ищем интервалы, где выражение меньше нуля (знак $-$). Это $(-\infty, -4)$, $(0.5, 2)$ и $(2, 3)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup (0.5, 2) \cup (2, 3)$