Номер 5.22, страница 43 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.22. Решите неравенство:

1) $(x - 3)\sqrt{14 + 5x - x^2} > 0;$

2) $(x - 3)\sqrt{14 + 5x - x^2} \geq 0;$

3) $(x - 3)\sqrt{14 + 5x - x^2} < 0;$

4) $(x - 3)\sqrt{14 + 5x - x^2} \leq 0;$

5) $(x^2 - 25)\sqrt{16 - x^2} < 0;$

6) $(x^2 - 25)\sqrt{16 - x^2} > 0;$

7) $(x^2 - 25)\sqrt{16 - x^2} \leq 0;$

8) $(x^2 - 25)\sqrt{16 - x^2} \geq 0.$

1) Решим неравенство $(x - 3)\sqrt{14 + 5x - x^2} > 0$.
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ), потребовав, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным: $14 + 5x - x^2 \ge 0$.
Умножим неравенство на -1, изменив знак: $x^2 - 5x - 14 \le 0$.
Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 5x - 14 = 0$ по теореме Виета или через дискриминант. Корни: $x_1 = -2$ и $x_2 = 7$.
Так как ветви параболы $y = x^2 - 5x - 14$ направлены вверх, неравенство $x^2 - 5x - 14 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями.
Таким образом, ОДЗ: $x \in [-2, 7]$.
На ОДЗ множитель $\sqrt{14 + 5x - x^2}$ всегда неотрицателен ($\ge 0$). Чтобы произведение было строго больше нуля, оба множителя должны быть строго больше нуля.
1) $x - 3 > 0 \implies x > 3$.
2) $\sqrt{14 + 5x - x^2} > 0 \implies 14 + 5x - x^2 \ne 0 \implies x \ne -2$ и $x \ne 7$.
Объединяя условия ($x \in [-2, 7]$, $x > 3$, $x \ne -2$, $x \ne 7$), получаем решение: $x \in (3, 7)$.
Ответ: $x \in (3, 7)$.

2) Решим неравенство $(x - 3)\sqrt{14 + 5x - x^2} \ge 0$.
ОДЗ, как и в предыдущем пункте: $x \in [-2, 7]$.
Неравенство вида $A \cdot B \ge 0$, где $B = \sqrt{14 + 5x - x^2} \ge 0$, равносильно совокупности двух систем:
1) Случай, когда произведение равно нулю. Это происходит, если один из множителей равен нулю (в пределах ОДЗ).
$x - 3 = 0 \implies x = 3$. (Входит в ОДЗ).
$\sqrt{14 + 5x - x^2} = 0 \implies x = -2$ или $x = 7$. (Граничные точки ОДЗ).
2) Случай, когда произведение строго больше нуля. Из пункта 1) мы знаем, что это $x \in (3, 7)$.
Объединяя все найденные решения: $\{ -2 \} \cup \{ 7 \} \cup \{ 3 \} \cup (3, 7)$, получаем $\{-2\} \cup [3, 7]$.
Ответ: $x \in \{-2\} \cup [3, 7]$.

3) Решим неравенство $(x - 3)\sqrt{14 + 5x - x^2} < 0$.
ОДЗ: $x \in [-2, 7]$.
Так как множитель $\sqrt{14 + 5x - x^2}$ не может быть отрицательным, для выполнения строгого неравенства необходимо, чтобы $\sqrt{14 + 5x - x^2} > 0$ и $x - 3 < 0$.
1) $x - 3 < 0 \implies x < 3$.
2) $\sqrt{14 + 5x - x^2} > 0 \implies x \in (-2, 7)$.
Находим пересечение условий $x < 3$ и $x \in (-2, 7)$. Получаем $x \in (-2, 3)$.
Ответ: $x \in (-2, 3)$.

4) Решим неравенство $(x - 3)\sqrt{14 + 5x - x^2} \le 0$.
ОДЗ: $x \in [-2, 7]$.
Неравенство выполняется, если:
1) Произведение равно нулю. Из пункта 2) мы знаем, что это происходит при $x = -2$, $x = 3$, $x = 7$.
2) Произведение строго меньше нуля. Из пункта 3) мы знаем, что это происходит при $x \in (-2, 3)$.
Объединяя эти решения: $\{ -2, 3, 7 \} \cup (-2, 3)$, получаем $[-2, 3] \cup \{7\}$.
Ответ: $x \in [-2, 3] \cup \{7\}$.

5) Решим неравенство $(x^2 - 25)\sqrt{16 - x^2} < 0$.
Найдем ОДЗ: $16 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 16 \implies -4 \le x \le 4$. ОДЗ: $x \in [-4, 4]$.
Рассмотрим знаки множителей на ОДЗ:
1) $\sqrt{16 - x^2}$ всегда неотрицателен ($\ge 0$).
2) Для множителя $x^2 - 25$: так как на ОДЗ $-4 \le x \le 4$, то $0 \le x^2 \le 16$. Тогда $x^2 - 25 \le 16 - 25 = -9$. Следовательно, множитель $x^2 - 25$ на всей ОДЗ является строго отрицательным.
Для выполнения неравенства $(x^2 - 25)\sqrt{16 - x^2} < 0$ (произведение отрицательного и неотрицательного чисел) необходимо, чтобы второй множитель был строго положителен.
$\sqrt{16 - x^2} > 0 \implies 16 - x^2 \ne 0 \implies x \ne -4$ и $x \ne 4$.
Учитывая ОДЗ $x \in [-4, 4]$, получаем решение $x \in (-4, 4)$.
Ответ: $x \in (-4, 4)$.

6) Решим неравенство $(x^2 - 25)\sqrt{16 - x^2} > 0$.
Как установлено в пункте 5), ОДЗ: $x \in [-4, 4]$. На этой области множитель $x^2 - 25$ всегда отрицателен, а множитель $\sqrt{16 - x^2}$ всегда неотрицателен.
Произведение отрицательного числа и неотрицательного числа никогда не может быть положительным. Оно всегда $\le 0$.
Следовательно, неравенство не имеет решений.
Ответ: $\emptyset$ (решений нет).

7) Решим неравенство $(x^2 - 25)\sqrt{16 - x^2} \le 0$.
Как установлено в пункте 5), ОДЗ: $x \in [-4, 4]$. На этой области множитель $x^2 - 25$ всегда отрицателен, а множитель $\sqrt{16 - x^2}$ всегда неотрицателен.
Произведение отрицательного числа и неотрицательного числа всегда меньше или равно нулю.
Следовательно, неравенство выполняется для всех значений $x$ из области допустимых значений.
Ответ: $x \in [-4, 4]$.

8) Решим неравенство $(x^2 - 25)\sqrt{16 - x^2} \ge 0$.
ОДЗ: $x \in [-4, 4]$. На этой области выражение $(x^2 - 25)\sqrt{16 - x^2}$ всегда меньше или равно нулю (см. пункты 6 и 7).
Следовательно, неравенство может выполняться только в том случае, когда выражение равно нулю.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.
$x^2 - 25 = 0 \implies x = \pm 5$. Эти значения не входят в ОДЗ.
$\sqrt{16 - x^2} = 0 \implies 16 - x^2 = 0 \implies x^2 = 16 \implies x = \pm 4$. Оба значения входят в ОДЗ.
Таким образом, решение - это только две точки.
Ответ: $x \in \{-4, 4\}$.