Номер 5.25, страница 44 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.25. Для каждого значения a решите неравенство:

1) $(x - 3)(x - a) < 0;$

2) $(x - 3)(x - a)^2 > 0;$

3) $(x - 3)(x - a)^2 \ge 0;$

4) $(x - a)(x + 5)^2 < 0;$

5) $(x - a)(x + 5)^2 \le 0;$

6) $\frac{x - 5}{x - a} \ge 0;$

7) $\frac{(x + 1)(x - a)}{x + 1} \ge 0;$

8) $\frac{(x + 1)(x - a)}{x - a} \le 0.$

1)

Решим неравенство $(x-3)(x-a) < 0$.

Это квадратичное неравенство. График функции $y = (x-3)(x-a)$ — это парабола с ветвями, направленными вверх. Неравенство выполняется на интервале между корнями $x_1=3$ и $x_2=a$. Решение зависит от взаимного расположения корней.

Случай 1: $a < 3$.
Корни на числовой оси: $a$ и $3$. Решением является интервал между ними: $x \in (a, 3)$.

Случай 2: $a = 3$.
Неравенство принимает вид $(x-3)^2 < 0$. Так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, неравенство не имеет решений: $x \in \emptyset$.

Случай 3: $a > 3$.
Корни на числовой оси: $3$ и $a$. Решением является интервал между ними: $x \in (3, a)$.

Ответ: если $a < 3$, то $x \in (a, 3)$; если $a = 3$, то решений нет; если $a > 3$, то $x \in (3, a)$.

2)

Решим неравенство $(x-3)(x-a)^2 > 0$.

Множитель $(x-a)^2$ всегда неотрицателен. Для выполнения строгого неравенства необходимо, чтобы $(x-a)^2 \neq 0$, то есть $x \neq a$.
При $x \neq a$ множитель $(x-a)^2$ строго положителен, поэтому неравенство равносильно неравенству $x-3 > 0$, то есть $x > 3$.
Таким образом, решение — это все $x$, удовлетворяющие условиям $x > 3$ и $x \neq a$.

Случай 1: $a \le 3$.
Если $x > 3$, то условие $x \neq a$ выполняется автоматически. Следовательно, решение: $x \in (3, \infty)$.

Случай 2: $a > 3$.
Нужно удовлетворить обоим условиям: $x > 3$ и $x \neq a$. Так как $a$ попадает в интервал $(3, \infty)$, его нужно исключить. Решение: $x \in (3, a) \cup (a, \infty)$.

Ответ: если $a \le 3$, то $x \in (3, \infty)$; если $a > 3$, то $x \in (3, a) \cup (a, \infty)$.

3)

Решим неравенство $(x-3)(x-a)^2 \ge 0$.

Неравенство выполняется, если одна из скобок равна нулю, то есть при $x=3$ или $x=a$.
Рассмотрим случай, когда $(x-3)(x-a)^2 > 0$. Как и в предыдущем пункте, это равносильно системе $x > 3$ и $x \neq a$.
Объединим решения: множество решений состоит из точки $x=a$ и интервалов, где $x > 3$ и $x \neq a$. То есть, общее решение — это $\{a\} \cup [3, \infty)$.

Случай 1: $a < 3$.
Точка $a$ не входит в промежуток $[3, \infty)$. Решение: $x \in \{a\} \cup [3, \infty)$.

Случай 2: $a \ge 3$.
Точка $a$ уже содержится в промежутке $[3, \infty)$. Решение: $x \in [3, \infty)$.

Ответ: если $a < 3$, то $x \in \{a\} \cup [3, \infty)$; если $a \ge 3$, то $x \in [3, \infty)$.

4)

Решим неравенство $(x-a)(x+5)^2 < 0$.

Аналогично пункту 2, множитель $(x+5)^2$ неотрицателен. Для выполнения строгого неравенства нужно, чтобы $x+5 \neq 0$, то есть $x \neq -5$.
При $x \neq -5$ множитель $(x+5)^2$ строго положителен, и неравенство равносильно $x-a < 0$, то есть $x < a$.
Итоговое решение — это все $x$, удовлетворяющие условиям $x < a$ и $x \neq -5$.

Случай 1: $a \le -5$.
Условие $x < a$ автоматически влечет за собой $x \neq -5$. Решение: $x \in (-\infty, a)$.

Случай 2: $a > -5$.
Нужно удовлетворить обоим условиям: $x < a$ и $x \neq -5$. Так как $-5$ попадает в интервал $(-\infty, a)$, его нужно исключить. Решение: $x \in (-\infty, -5) \cup (-5, a)$.

Ответ: если $a \le -5$, то $x \in (-\infty, a)$; если $a > -5$, то $x \in (-\infty, -5) \cup (-5, a)$.

5)

Решим неравенство $(x-a)(x+5)^2 \le 0$.

Неравенство выполняется, если множители равны нулю, то есть при $x=a$ или $x=-5$.
Рассмотрим случай, когда $(x-a)(x+5)^2 < 0$. Как и в предыдущем пункте, это равносильно системе $x < a$ и $x \neq -5$.
Объединим решения: множество решений состоит из точек $x=a$, $x=-5$ и интервалов, где $x < a$ и $x \neq -5$. То есть, общее решение — это $\{x \mid x \le a\} \cup \{-5\}$.

Случай 1: $a < -5$.
Точка $-5$ не входит в промежуток $(-\infty, a]$. Решение: $x \in (-\infty, a] \cup \{-5\}$.

Случай 2: $a \ge -5$.
Точка $-5$ уже содержится в промежутке $(-\infty, a]$. Решение: $x \in (-\infty, a]$.

Ответ: если $a < -5$, то $x \in (-\infty, a] \cup \{-5\}$; если $a \ge -5$, то $x \in (-\infty, a]$.

6)

Решим неравенство $\frac{x-5}{x-a} \ge 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ): $x-a \neq 0$, то есть $x \neq a$.
Данное неравенство равносильно системе: $\begin{cases} (x-5)(x-a) \ge 0 \\ x \neq a \end{cases}$.
Решаем неравенство $(x-5)(x-a) \ge 0$ методом интервалов. Корни: $5$ и $a$.

Случай 1: $a < 5$.
Корни на оси: $a, 5$. Решение для $(x-5)(x-a) \ge 0$ есть $x \in (-\infty, a] \cup [5, \infty)$. Учитывая ОДЗ ($x \neq a$), получаем: $x \in (-\infty, a) \cup [5, \infty)$.

Случай 2: $a = 5$.
Неравенство принимает вид $\frac{x-5}{x-5} \ge 0$. ОДЗ: $x \neq 5$. При $x \neq 5$ выражение равно $1$, и $1 \ge 0$ верно. Решение: $x \in (-\infty, 5) \cup (5, \infty)$.

Случай 3: $a > 5$.
Корни на оси: $5, a$. Решение для $(x-5)(x-a) \ge 0$ есть $x \in (-\infty, 5] \cup [a, \infty)$. Учитывая ОДЗ ($x \neq a$), получаем: $x \in (-\infty, 5] \cup (a, \infty)$.

Ответ: если $a < 5$, то $x \in (-\infty, a) \cup [5, \infty)$; если $a = 5$, то $x \in (-\infty, 5) \cup (5, \infty)$; если $a > 5$, то $x \in (-\infty, 5] \cup (a, \infty)$.

7)

Решим неравенство $\frac{(x+1)(x-a)}{x+1} \ge 0$.

ОДЗ: $x+1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$.
При $x \neq -1$ можно сократить дробь, и неравенство становится равносильным $x-a \ge 0$, то есть $x \ge a$.
Итак, ищем решение системы $\begin{cases} x \ge a \\ x \neq -1 \end{cases}$.

Случай 1: $a < -1$.
Решение $x \ge a$ — это промежуток $[a, \infty)$. Точка $x=-1$ попадает в этот промежуток, ее нужно исключить. Решение: $x \in [a, -1) \cup (-1, \infty)$.

Случай 2: $a = -1$.
Система: $\begin{cases} x \ge -1 \\ x \neq -1 \end{cases}$. Решение: $x > -1$, то есть $x \in (-1, \infty)$.

Случай 3: $a > -1$.
Решение $x \ge a$. Так как $a > -1$, все значения $x$ из этого промежутка автоматически больше $-1$, поэтому условие $x \neq -1$ выполняется. Решение: $x \in [a, \infty)$.

Ответ: если $a < -1$, то $x \in [a, -1) \cup (-1, \infty)$; если $a = -1$, то $x \in (-1, \infty)$; если $a > -1$, то $x \in [a, \infty)$.

8)

Решим неравенство $\frac{(x+1)(x-a)}{x-a} \le 0$.

ОДЗ: $x-a \neq 0$, то есть $x \neq a$.
При $x \neq a$ можно сократить дробь, и неравенство становится равносильным $x+1 \le 0$, то есть $x \le -1$.
Итак, ищем решение системы $\begin{cases} x \le -1 \\ x \neq a \end{cases}$.

Случай 1: $a < -1$.
Решение $x \le -1$ — это промежуток $(-\infty, -1]$. Точка $x=a$ попадает в этот промежуток, ее нужно исключить. Решение: $x \in (-\infty, a) \cup (a, -1]$.

Случай 2: $a = -1$.
Система: $\begin{cases} x \le -1 \\ x \neq -1 \end{cases}$. Решение: $x < -1$, то есть $x \in (-\infty, -1)$.

Случай 3: $a > -1$.
Решение $x \le -1$. Так как $a > -1$, точка $a$ не попадает в промежуток $(-\infty, -1]$, поэтому условие $x \neq a$ выполняется автоматически. Решение: $x \in (-\infty, -1]$.

Ответ: если $a < -1$, то $x \in (-\infty, a) \cup (a, -1]$; если $a = -1$, то $x \in (-\infty, -1)$; если $a > -1$, то $x \in (-\infty, -1]$.