Номер 3, страница 47 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

3. Решите неравенство $\sqrt{x + \sqrt{2x-1}} < 2$.

Для решения неравенства $\sqrt{x + \sqrt{2x - 1}} < 2$ сначала определим область допустимых значений (ОДЗ).

Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными. Это приводит к системе условий:
1. Внутренний корень: $2x - 1 \ge 0$, откуда $2x \ge 1$, то есть $x \ge \frac{1}{2}$.
2. Внешний корень: $x + \sqrt{2x - 1} \ge 0$. Поскольку из первого условия $x \ge \frac{1}{2}$ (то есть $x$ — положительное число) и $\sqrt{2x - 1} \ge 0$, их сумма всегда будет положительной. Следовательно, это условие выполняется для всех $x$ из первого условия.
Таким образом, ОДЗ неравенства: $x \in [\frac{1}{2}, +\infty)$.

Теперь решим само неравенство. Обе его части неотрицательны, поэтому мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:
$(\sqrt{x + \sqrt{2x - 1}})^2 < 2^2$
$x + \sqrt{2x - 1} < 4$

Для дальнейшего решения преобразуем левую часть исходного неравенства, выделив под внешним корнем полный квадрат. Умножим и разделим подкоренное выражение $x + \sqrt{2x - 1}$ на 2:
$x + \sqrt{2x - 1} = \frac{2x + 2\sqrt{2x - 1}}{2}$
Представим $2x$ в числителе как $(2x - 1) + 1$:
$\frac{(2x - 1) + 2\sqrt{2x - 1} + 1}{2}$
В числителе мы получили выражение вида $a^2 + 2ab + b^2$, где $a = \sqrt{2x - 1}$ и $b = 1$. Это формула квадрата суммы $(a+b)^2$.
Таким образом, подкоренное выражение можно записать как $\frac{(\sqrt{2x - 1} + 1)^2}{2}$.

Подставим это выражение обратно в исходное неравенство:
$\sqrt{\frac{(\sqrt{2x - 1} + 1)^2}{2}} < 2$
Извлекая корень, получаем:
$\frac{|\sqrt{2x - 1} + 1|}{\sqrt{2}} < 2$
Поскольку $\sqrt{2x-1} \ge 0$, выражение $\sqrt{2x - 1} + 1$ всегда положительно, поэтому знак модуля можно опустить:
$\frac{\sqrt{2x - 1} + 1}{\sqrt{2}} < 2$
Умножим обе части на $\sqrt{2}$:
$\sqrt{2x - 1} + 1 < 2\sqrt{2}$
$\sqrt{2x - 1} < 2\sqrt{2} - 1$
Правая часть $2\sqrt{2} - 1 = \sqrt{8} - 1 > 0$. Так как обе части неравенства неотрицательны, мы можем снова возвести их в квадрат:
$(\sqrt{2x - 1})^2 < (2\sqrt{2} - 1)^2$
$2x - 1 < (2\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot 1 + 1^2$
$2x - 1 < 8 - 4\sqrt{2} + 1$
$2x - 1 < 9 - 4\sqrt{2}$
$2x < 10 - 4\sqrt{2}$
$x < 5 - 2\sqrt{2}$

Наконец, объединим полученное решение с ОДЗ ($x \ge \frac{1}{2}$). Мы должны удовлетворять системе:
$\begin{cases} x < 5 - 2\sqrt{2} \\ x \ge \frac{1}{2} \end{cases}$
Так как $5 - 2\sqrt{2} \approx 5 - 2 \cdot 1.414 = 2.172$, что больше $\frac{1}{2}$, то решением является промежуток от $\frac{1}{2}$ до $5 - 2\sqrt{2}$.

Ответ: $x \in [\frac{1}{2}, 5 - 2\sqrt{2})$.