Номер 4, страница 47 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

4. Решите уравнение $|x - 1| + |x + 2| = \sqrt{9 - x^2}$.

Для решения уравнения $|x - 1| + |x + 2| = \sqrt{9 - x^2}$ сначала определим область допустимых значений (ОДЗ).

Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:$9 - x^2 \ge 0$.

Решая неравенство $(3-x)(3+x) \ge 0$, получаем ОДЗ: $x \in [-3, 3]$.

Далее, для раскрытия модулей, рассмотрим интервалы, на которые числовую ось разбивают точки $x=1$ и $x=-2$. С учетом ОДЗ, рассмотрим три случая.

Случай 1: $x \in [-3, -2)$

На этом интервале $x-1 < 0$ и $x+2 < 0$, поэтому $|x-1| = -(x-1)$ и $|x+2| = -(x+2)$.

Уравнение принимает вид:

$-(x-1) - (x+2) = \sqrt{9 - x^2}$

$-x + 1 - x - 2 = \sqrt{9 - x^2}$

$-2x - 1 = \sqrt{9 - x^2}$

Левая часть должна быть неотрицательной, так как корень в правой части неотрицателен: $-2x - 1 \ge 0 \implies -2x \ge 1 \implies x \le -0.5$. Интервал $x \in [-3, -2)$ удовлетворяет этому условию. Возведем обе части в квадрат:

$(-2x - 1)^2 = 9 - x^2$

$4x^2 + 4x + 1 = 9 - x^2$

$5x^2 + 4x - 8 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = 4^2 - 4(5)(-8) = 16 + 160 = 176$.

Корни: $x = \frac{-4 \pm \sqrt{176}}{10} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{11}}{10} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{11}}{5}$.

Проверим, принадлежат ли корни интервалу $[-3, -2)$.

$x_1 = \frac{-2 + 2\sqrt{11}}{5}$. Поскольку $\sqrt{9} < \sqrt{11} < \sqrt{16}$, то $3 < \sqrt{11} < 4$. Тогда $x_1 = \frac{-2 + 2\sqrt{11}}{5} > \frac{-2+2 \cdot 3}{5} = \frac{4}{5} = 0.8$. Этот корень не входит в интервал $[-3, -2)$.

$x_2 = \frac{-2 - 2\sqrt{11}}{5}$. Проверим неравенство $x_2 < -2$: $\frac{-2 - 2\sqrt{11}}{5} < -2 \iff -2 - 2\sqrt{11} < -10 \iff -2\sqrt{11} < -8 \iff \sqrt{11} > 4$, что неверно, так как $11 < 16$. Следовательно, $x_2 \ge -2$, и корень не входит в интервал $[-3, -2)$.

В этом случае решений нет.

Случай 2: $x \in [-2, 1)$

На этом интервале $x-1 < 0$ и $x+2 \ge 0$, поэтому $|x-1| = -(x-1)$ и $|x+2| = x+2$.

Уравнение принимает вид:

$-(x-1) + (x+2) = \sqrt{9 - x^2}$

$-x + 1 + x + 2 = \sqrt{9 - x^2}$

$3 = \sqrt{9 - x^2}$

Возводим обе части в квадрат:

$9 = 9 - x^2$

$x^2 = 0 \implies x = 0$.

Значение $x=0$ принадлежит интервалу $[-2, 1)$, поэтому является решением.

Случай 3: $x \in [1, 3]$

На этом интервале $x-1 \ge 0$ и $x+2 \ge 0$, поэтому $|x-1| = x-1$ и $|x+2| = x+2$.

Уравнение принимает вид:

$(x-1) + (x+2) = \sqrt{9 - x^2}$

$2x + 1 = \sqrt{9 - x^2}$

Левая часть должна быть неотрицательной: $2x+1 \ge 0 \implies x \ge -0.5$. Интервал $[1, 3]$ удовлетворяет этому условию. Возведем в квадрат:

$(2x + 1)^2 = 9 - x^2$

$4x^2 + 4x + 1 = 9 - x^2$

$5x^2 + 4x - 8 = 0$

Корни этого уравнения, как мы уже нашли, $x_{1,2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{11}}{5}$.

Проверим, принадлежат ли корни интервалу $[1, 3]$.

$x_1 = \frac{-2 + 2\sqrt{11}}{5}$. Проверим неравенство $x_1 \ge 1$: $\frac{-2 + 2\sqrt{11}}{5} \ge 1 \iff -2+2\sqrt{11} \ge 5 \iff 2\sqrt{11} \ge 7 \iff 4 \cdot 11 \ge 49 \iff 44 \ge 49$, что неверно. Следовательно, $x_1 < 1$, и корень не входит в интервал $[1, 3]$.

$x_2 = \frac{-2 - 2\sqrt{11}}{5} < 0$, поэтому он также не входит в интервал $[1, 3]$.

В этом случае решений нет.

Таким образом, единственным решением исходного уравнения является $x=0$.

Ответ: $0$