gdz.top
Номер 1, страница 47 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2021 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий, красный
ISBN: 978-5-09-087861-6
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика. Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 1. Повторение и расширение сведений о функции. Применение свойств функции - номер 1, страница 47.
№5.27
№1 (с. 47)
Условие. №1 (с. 47)
1. Решите уравнение $x^3 + 2x\sqrt{x-1} = 12$.
Решение 1. №1 (с. 47)
Решение 5. №1 (с. 47)
Для решения уравнения $x^3 + 2x\sqrt{x-1} = 12$ первым шагом определим его область допустимых значений (ОДЗ). Выражение, находящееся под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным.
$x - 1 \ge 0$
$x \ge 1$
Следовательно, ОДЗ уравнения: $x \in [1, +\infty)$.
Теперь рассмотрим функцию, стоящую в левой части уравнения: $f(x) = x^3 + 2x\sqrt{x-1}$. Исследуем эту функцию на монотонность на её области определения.
Функция $f(x)$ является суммой двух функций: $g(x) = x^3$ и $h(x) = 2x\sqrt{x-1}$.
1. Функция $g(x) = x^3$ является степенной функцией с нечетным натуральным показателем, она строго возрастает на всей числовой оси, а значит, и на промежутке $[1, +\infty)$.
2. Функция $h(x) = 2x\sqrt{x-1}$ на промежутке $[1, +\infty)$ является произведением двух неотрицательных и возрастающих функций: $y_1 = 2x$ и $y_2 = \sqrt{x-1}$. Произведение таких функций также является возрастающей функцией на данном промежутке.
Поскольку $f(x)$ — это сумма двух строго возрастающих на промежутке $[1, +\infty)$ функций, то и сама функция $f(x)$ является строго возрастающей на этом промежутке.
Строго монотонная функция принимает каждое свое значение ровно один раз. Это означает, что уравнение $f(x) = 12$ может иметь не более одного корня.
Попробуем найти этот корень методом подбора, проверяя небольшие целые значения $x$ из области допустимых значений.
Пусть $x=2$. Подставим это значение в исходное уравнение:
$2^3 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{2-1} = 8 + 4 \cdot \sqrt{1} = 8 + 4 = 12$
Получили верное равенство $12 = 12$. Следовательно, $x=2$ является корнем уравнения.
Так как мы доказали, что уравнение имеет не более одного решения, и мы нашли это решение, то $x=2$ — единственный корень уравнения.
Ответ: $2$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 1 расположенного на странице 47 к учебнику 2021 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №1 (с. 47), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.