Номер 5, страница 47 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

5. При каких значениях $a$ уравнение $ax^6 + 1 = a^2\sqrt{1-|x|}$ имеет единственный корень?

Исходное уравнение: $ax^6 + 1 = a^2 \sqrt{1 - |x|}$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$1 - |x| \ge 0$

$|x| \le 1$

Это означает, что $x \in [-1, 1]$.

Рассмотрим функции в левой и правой частях уравнения: $f(x) = ax^6 + 1$ и $g(x) = a^2 \sqrt{1 - |x|}$. Обе функции являются четными, так как $f(-x) = a(-x)^6 + 1 = ax^6 + 1 = f(x)$ и $g(-x) = a^2 \sqrt{1 - |-x|} = a^2 \sqrt{1 - |x|} = g(x)$.

Поскольку уравнение состоит из четных функций, если $x_0 \neq 0$ является корнем, то и $-x_0$ также будет корнем. Это означает, что ненулевые корни всегда появляются парами. Чтобы уравнение имело единственный корень, этот корень должен быть $x=0$, так как только ноль равен своему противоположному значению.

Найдем значения параметра $a$, при которых $x=0$ является корнем уравнения. Для этого подставим $x=0$ в исходное уравнение:

$a \cdot 0^6 + 1 = a^2 \sqrt{1 - |0|}$

$1 = a^2 \sqrt{1}$

$a^2 = 1$

Отсюда получаем два возможных значения параметра: $a=1$ и $a=-1$. Теперь нужно проверить каждый из этих случаев, чтобы убедиться, что корень $x=0$ действительно является единственным.

Случай 1: a = 1

При $a=1$ уравнение принимает вид:

$x^6 + 1 = \sqrt{1 - |x|}$

Мы уже установили, что $x=0$ является корнем этого уравнения ($1=1$). Проверим, существуют ли другие корни в области определения $x \in [-1, 1]$.

Рассмотрим левую часть уравнения, $x^6+1$. Для любого $x \in [-1, 1]$, отличного от нуля, $x^6 > 0$, поэтому $x^6 + 1 > 1$.

Рассмотрим правую часть уравнения, $\sqrt{1 - |x|}$. Для любого $x \in [-1, 1]$, отличного от нуля, $|x| > 0$, поэтому $1 - |x| < 1$, и, следовательно, $\sqrt{1 - |x|} < 1$.

Получаем, что для любого $x \neq 0$ из ОДЗ левая часть уравнения строго больше 1, а правая часть — строго меньше 1. Таким образом, равенство невозможно. Это означает, что при $a=1$ других корней, кроме $x=0$, нет.

Случай 2: a = -1

При $a=-1$ уравнение принимает вид:

$-x^6 + 1 = (-1)^2 \sqrt{1 - |x|}$

$-x^6 + 1 = \sqrt{1 - |x|}$

Мы знаем, что $x=0$ является корнем ($1=1$). Проверим, есть ли другие корни. Рассмотрим, например, $x=1$:

Левая часть: $-1^6 + 1 = -1 + 1 = 0$.

Правая часть: $\sqrt{1 - |1|} = \sqrt{1-1} = 0$.

Поскольку левая и правая части равны, $x=1$ является корнем. Так как уравнение четное, $x=-1$ также должен быть корнем, что легко проверить:

Левая часть: $-(-1)^6 + 1 = -1 + 1 = 0$.

Правая часть: $\sqrt{1 - |-1|} = \sqrt{1-1} = 0$.

При $a=-1$ уравнение имеет как минимум три корня: $x=0$, $x=1$ и $x=-1$. Следовательно, корень не является единственным.

Таким образом, единственное значение параметра $a$, при котором исходное уравнение имеет единственный корень, это $a=1$.

Ответ: $a=1$.