Номер 6.3, страница 53 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

6.3. Функция задана формулой $f(x) = x^{19}$. Сравните:

1) $f(1,4)$ и $f(1,8)$;

2) $f(-7,6)$ и $f(-8,5)$;

3) $f(-6,9)$ и $f(6,9)$;

4) $f(0,2)$ и $f(-12)$.

Данная функция $f(x) = x^{19}$ является степенной функцией с нечетным натуральным показателем ($n=19$).

Ключевое свойство таких функций — они являются строго возрастающими на всей числовой прямой. Это означает, что если взять два любых числа $x_1$ и $x_2$ такие, что $x_1 < x_2$, то для значений функции будет выполняться неравенство $f(x_1) < f(x_2)$. Иными словами, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Также функция с нечетным показателем является нечетной, то есть для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Используя эти свойства, проведем сравнение для каждой пары значений.

Необходимо сравнить $f(1,4)$ и $f(1,8)$. Аргументы: $1,4$ и $1,8$. Так как $1,4 < 1,8$ и функция $f(x)$ является строго возрастающей, то $f(1,4) < f(1,8)$.

Ответ: $f(1,4) < f(1,8)$.

Необходимо сравнить $f(-7,6)$ и $f(-8,5)$. Аргументы: $-7,6$ и $-8,5$. Сначала сравним аргументы: $-8,5 < -7,6$. Поскольку функция $f(x)$ строго возрастающая, то из неравенства для аргументов следует такое же неравенство для значений функции: $f(-8,5) < f(-7,6)$.

Ответ: $f(-7,6) > f(-8,5)$.

Необходимо сравнить $f(-6,9)$ и $f(6,9)$.
Способ 1: Использование монотонности. Сравним аргументы: $-6,9 < 6,9$. Так как функция $f(x)$ строго возрастающая, то $f(-6,9) < f(6,9)$.

Способ 2: Использование нечетности. Функция $f(x) = x^{19}$ является нечетной, поэтому $f(-6,9) = -f(6,9)$. Значение $f(6,9) = (6,9)^{19}$ — положительное число. Следовательно, $f(-6,9)$ — отрицательное число. Любое отрицательное число меньше положительного, поэтому $f(-6,9) < f(6,9)$.

Ответ: $f(-6,9) < f(6,9)$.

Необходимо сравнить $f(0,2)$ и $f(-12)$.
Способ 1: Использование монотонности. Сравним аргументы: $-12 < 0,2$. Так как функция $f(x)$ строго возрастающая, то $f(-12) < f(0,2)$.

Способ 2: Сравнение по знаку. Значение $f(0,2) = (0,2)^{19}$ является положительным, так как основание степени положительно. Значение $f(-12) = (-12)^{19}$ является отрицательным, так как основание степени отрицательно, а показатель степени — нечетное число. Положительное число всегда больше отрицательного, поэтому $f(0,2) > f(-12)$.

Ответ: $f(0,2) > f(-12)$.