Номер 6.5, страница 53 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

6.5. Функция задана формулой $f(x) = x^{20}$. Сравните:

1) $f(3,6)$ и $f(4,2);$

2) $f(-6,7)$ и $f(-5,8);$

3) $f(-2,4)$ и $f(2,4);$

4) $f(-15)$ и $f(2).$

Для сравнения значений функции $f(x) = x^{20}$ необходимо проанализировать ее свойства. Показатель степени 20 — чётное число, поэтому функция является чётной, то есть $f(-x) = (-x)^{20} = x^{20} = f(x)$ для любого $x$. Это означает, что её график симметричен относительно оси ординат. Также важно поведение функции на разных интервалах: на промежутке $[0; +\infty)$ функция возрастает (большему значению аргумента соответствует большее значение функции), а на промежутке $(-\infty; 0]$ функция убывает (большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции).

1) $f(3,6)$ и $f(4,2)$
Аргументы $x_1 = 3,6$ и $x_2 = 4,2$ находятся на промежутке $[0; +\infty)$, где функция $f(x)$ возрастает. Поскольку $3,6 < 4,2$, то и значения функции будут находиться в том же соотношении: $f(3,6) < f(4,2)$.
Ответ: $f(3,6) < f(4,2)$.

2) $f(-6,7)$ и $f(-5,8)$
Аргументы $x_1 = -6,7$ и $x_2 = -5,8$ находятся на промежутке $(-\infty; 0]$, где функция $f(x)$ убывает. Поскольку $-6,7 < -5,8$, то для убывающей функции соотношение значений будет обратным: $f(-6,7) > f(-5,8)$.
В качестве проверки можно использовать свойство чётности: $f(-6,7) = (6,7)^{20}$ и $f(-5,8) = (5,8)^{20}$. Так как $6,7 > 5,8$, то $(6,7)^{20} > (5,8)^{20}$, что подтверждает результат.
Ответ: $f(-6,7) > f(-5,8)$.

3) $f(-2,4)$ и $f(2,4)$
Функция $f(x) = x^{20}$ является чётной, что по определению означает $f(-x) = f(x)$. Следовательно, для аргументов, равных по модулю, значения функции будут одинаковы.
$f(-2,4) = f(2,4)$.
Ответ: $f(-2,4) = f(2,4)$.

4) $f(-15)$ и $f(2)$
Сначала используем свойство чётности для первого значения: $f(-15) = (-15)^{20} = 15^{20}$.
Теперь сравним $f(-15) = 15^{20}$ и $f(2) = 2^{20}$.
Поскольку основания степеней положительны и $15 > 2$, то при возведении в одну и ту же положительную степень (20) знак неравенства сохраняется: $15^{20} > 2^{20}$.
Следовательно, $f(-15) > f(2)$.
Ответ: $f(-15) > f(2)$.