Номер 6.11, страница 54 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

6.11. Постройте график функции:

1) $y = x^3 - 1$;

2) $y = (x+2)^3$;

3) $y = -x^3$;

4) $y = x^4 - 4$;

5) $y = (x - 1)^4$;

6) $y = -\frac{1}{2}x^4$.

1) $y = x^3 - 1$

Для построения графика данной функции необходимо выполнить преобразование графика базовой функции $y = x^3$ (кубическая парабола). График функции $y = f(x) - c$ получается из графика $y = f(x)$ путем параллельного переноса на $c$ единиц вниз вдоль оси ординат ($OY$). В данном случае $f(x) = x^3$ и $c=1$. Следовательно, чтобы построить график функции $y = x^3 - 1$, нужно построить график функции $y = x^3$ и сдвинуть его на 1 единицу вниз. Основные точки для $y = x^3$: $(-2, -8)$, $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(2, 8)$. После сдвига на 1 вниз они преобразуются в точки для $y = x^3 - 1$: $(-2, -9)$, $(-1, -2)$, $(0, -1)$, $(1, 0)$, $(2, 7)$.

Ответ: График функции $y = x^3 - 1$ получается из графика функции $y = x^3$ путем параллельного переноса на 1 единицу вниз вдоль оси $OY$.

2) $y = (x + 2)^3$

Этот график строится путем преобразования графика базовой функции $y = x^3$. График функции $y = f(x + c)$ получается из графика $y = f(x)$ путем параллельного переноса на $c$ единиц влево вдоль оси абсцисс ($OX$). В данном случае $f(x) = x^3$ и $c=2$. Значит, для построения графика функции $y = (x + 2)^3$ необходимо график $y = x^3$ сдвинуть на 2 единицы влево. Центр симметрии графика, точка $(0, 0)$, сместится в точку $(-2, 0)$. Точка $(1, 1)$ сместится в $(-1, 1)$, а точка $(-1, -1)$ — в $(-3, -1)$.

Ответ: График функции $y = (x + 2)^3$ получается из графика функции $y = x^3$ путем параллельного переноса на 2 единицы влево вдоль оси $OX$.

3) $y = -x^3$

График функции $y = -x^3$ получается из графика базовой функции $y = x^3$ путем симметричного отражения. График функции $y = -f(x)$ получается из графика $y = f(x)$ путем его симметричного отражения относительно оси абсцисс ($OX$). В данном случае $f(x) = x^3$. Чтобы построить график $y = -x^3$, нужно график $y = x^3$ отразить относительно оси $OX$. Точки с положительными ординатами перейдут в точки с отрицательными, и наоборот. Например, точка $(1, 1)$ перейдет в $(1, -1)$, а точка $(2, 8)$ — в $(2, -8)$. Точка $(-1, -1)$ перейдет в $(-1, 1)$. Точка $(0,0)$ останется на месте.

Ответ: График функции $y = -x^3$ получается из графика функции $y = x^3$ путем симметричного отражения относительно оси $OX$.

4) $y = x^4 - 4$

Для построения этого графика выполним преобразование графика базовой функции $y = x^4$. График $y=x^4$ — это кривая, симметричная относительно оси $OY$, проходящая через начало координат, похожая на параболу, но более "плоская" у вершины. Преобразование $y = f(x) - c$ означает сдвиг графика $y=f(x)$ на $c$ единиц вниз. Здесь $f(x)=x^4$ и $c=4$. Таким образом, график $y = x^4$ необходимо сдвинуть на 4 единицы вниз вдоль оси $OY$. Вершина из точки $(0, 0)$ переместится в точку $(0, -4)$. Точки $(1, 1)$ и $(-1, 1)$ переместятся в $(1, -3)$ и $(-1, -3)$ соответственно.

Ответ: График функции $y = x^4 - 4$ получается из графика функции $y = x^4$ путем параллельного переноса на 4 единицы вниз вдоль оси $OY$.

5) $y = (x - 1)^4$

Этот график строится путем преобразования графика базовой функции $y = x^4$. Преобразование $y = f(x - c)$ соответствует сдвигу графика $y=f(x)$ на $c$ единиц вправо вдоль оси абсцисс ($OX$). В нашем случае $f(x) = x^4$ и $c=1$. Следовательно, для построения графика $y = (x - 1)^4$ нужно сдвинуть график $y = x^4$ на 1 единицу вправо. Вершина из точки $(0, 0)$ сместится в точку $(1, 0)$. Точка $(1, 1)$ сместится в $(2, 1)$, а точка $(-1, 1)$ — в $(0, 1)$.

Ответ: График функции $y = (x - 1)^4$ получается из графика функции $y = x^4$ путем параллельного переноса на 1 единицу вправо вдоль оси $OX$.

6) $y = \frac{1}{2}x^4$

График данной функции получается из графика базовой функции $y = x^4$ путем вертикального сжатия. Преобразование вида $y = k \cdot f(x)$ при $0 < k < 1$ означает сжатие графика $y=f(x)$ к оси $OX$ в $\frac{1}{k}$ раз. В нашем случае $f(x) = x^4$ и $k = \frac{1}{2}$. Это означает, что ордината каждой точки графика $y=x^4$ умножается на $\frac{1}{2}$. Точка $(0, 0)$ остается на месте. Точка $(1, 1)$ переходит в $(1, \frac{1}{2})$. Точка $(2, 16)$ переходит в $(2, 8)$. График становится "шире" или более "прижатым" к оси $OX$ по сравнению с исходным.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{2}x^4$ получается из графика функции $y = x^4$ путем сжатия вдоль оси $OY$ (к оси $OX$) в 2 раза.