Номер 6.16, страница 54 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

6.16. Определите графически количество решений системы уравнений

$\begin{cases} y = x^6, \\ 2x - y - 3 = 0. \end{cases}$

Чтобы определить графически количество решений системы уравнений, необходимо построить графики каждого уравнения в одной системе координат и найти количество точек их пересечения. Количество точек пересечения равно количеству решений системы.

Исходная система уравнений:

$$ \begin{cases} y = x^6 \\ 2x - y - 3 = 0 \end{cases} $$

Сначала преобразуем второе уравнение к стандартному виду линейной функции $y = kx + b$:

$2x - y - 3 = 0 \implies -y = -2x + 3 \implies y = 2x - 3$

Теперь задача состоит в том, чтобы найти количество точек пересечения графиков функций $y = x^6$ и $y = 2x - 3$.

Построение графика функции $y = x^6$

Это степенная функция с четным показателем (6). Основные свойства ее графика:

• График симметричен относительно оси ординат (OY), так как $(-x)^6 = x^6$.
• Функция неотрицательна, то есть $y \ge 0$ для всех $x$. График расположен в I и II координатных четвертях.
• График проходит через начало координат (0, 0), так как при $x=0, y=0$.
• График проходит через точки (1, 1) и (-1, 1).
• По сравнению с параболой $y=x^2$, этот график более "прижат" к оси OX на интервале $(-1, 1)$ и растет значительно быстрее при $|x| > 1$.

Построение графика функции $y = 2x - 3$

Это линейная функция, ее график — прямая. Для построения прямой найдем две точки, например, точки пересечения с осями координат:

• Пересечение с осью OY: при $x=0$, $y = 2(0) - 3 = -3$. Точка (0, -3).
• Пересечение с осью OX: при $y=0$, $0 = 2x - 3 \implies 2x = 3 \implies x = 1.5$. Точка (1.5, 0).

Анализ взаимного расположения графиков и определение количества решений

Построим оба графика на одной координатной плоскости.

На графике видно, что кривая $y=x^6$ (синий цвет) и прямая $y=2x-3$ (красный цвет) не имеют точек пересечения. Прямая полностью расположена ниже кривой.

Это наблюдение подтверждается сравнением значений функций в нескольких точках:

• При $x=0$: $y=x^6=0$, а $y=2x-3=-3$. Кривая выше прямой.
• При $x=1.5$: $y=2x-3=0$, а $y=x^6=(1.5)^6 \approx 11.4$. Кривая значительно выше прямой.
• Для любого $x$, значение $x^6$ оказывается больше значения $2x-3$. Минимальное значение функции $y=x^6$ равно 0, в то время как прямая $y=2x-3$ пересекает ось OY в точке -3 и не поднимается достаточно быстро, чтобы пересечь круто возрастающую кривую.

Так как графики функций не пересекаются, у системы уравнений нет решений.

Ответ: 0.