Номер 6.23, страница 55 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

6.23. Представьте в виде дроби выражение:

1) $a^{-2} + a^{-3};$

2) $mn^{-4} + m^{-4}n;$

3) $(c^{-1} - d^{-1})(c - d)^{-2}.$

1) $a^{-2} + a^{-3}$
Чтобы представить выражение в виде дроби, воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$.
$a^{-2} + a^{-3} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{a^3}$
Далее приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для дробей со знаменателями $a^2$ и $a^3$ является $a^3$. Домножим первую дробь на дополнительный множитель $a$:
$\frac{1 \cdot a}{a^2 \cdot a} + \frac{1}{a^3} = \frac{a}{a^3} + \frac{1}{a^3}$
Теперь сложим дроби с одинаковыми знаменателями:
$\frac{a + 1}{a^3}$
Ответ: $\frac{a + 1}{a^3}$

2) $mn^{-4} + m^{-4}n$
Применим свойство степени с отрицательным показателем $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$ к каждому слагаемому:
$mn^{-4} + m^{-4}n = m \cdot \frac{1}{n^4} + \frac{1}{m^4} \cdot n = \frac{m}{n^4} + \frac{n}{m^4}$
Приведем полученные дроби к общему знаменателю $m^4n^4$. Домножим первую дробь на $m^4$, а вторую на $n^4$:
$\frac{m \cdot m^4}{n^4 \cdot m^4} + \frac{n \cdot n^4}{m^4 \cdot n^4} = \frac{m^5}{m^4n^4} + \frac{n^5}{m^4n^4}$
Сложим дроби:
$\frac{m^5 + n^5}{m^4n^4}$
Ответ: $\frac{m^5 + n^5}{m^4n^4}$

3) $(c^{-1} - d^{-1})(c - d)^{-2}$
Преобразуем каждый множитель по отдельности, используя свойство $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$.
Преобразуем первую скобку:
$c^{-1} - d^{-1} = \frac{1}{c} - \frac{1}{d}$
Приведем к общему знаменателю $cd$:
$\frac{1 \cdot d}{c \cdot d} - \frac{1 \cdot c}{d \cdot c} = \frac{d - c}{cd}$
Преобразуем вторую скобку:
$(c - d)^{-2} = \frac{1}{(c - d)^2}$
Теперь перемножим полученные дроби:
$\frac{d - c}{cd} \cdot \frac{1}{(c - d)^2} = \frac{d - c}{cd(c - d)^2}$
Заметим, что в числителе стоит выражение $d - c$, которое можно представить как $-(c - d)$. Выполним замену и сократим дробь на общий множитель $(c-d)$:
$\frac{-(c - d)}{cd(c - d)^2} = \frac{-1}{cd(c - d)} = -\frac{1}{cd(c - d)}$
Ответ: $-\frac{1}{cd(c - d)}$