Номер 3, страница 59 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

3. Сформулируйте свойства функции $y = x^{-n}$, $n \in N$.

Свойства функции $y = x^{-n} = \frac{1}{x^n}$, где $n \in \mathbb{N}$ (n — натуральное число), зависят от четности показателя $n$. Поэтому необходимо рассмотреть два случая.

Пусть $n$ — четное натуральное число. Тогда его можно представить в виде $n = 2k$, где $k \in \mathbb{N}$. Функция имеет вид $y = x^{-2k} = \frac{1}{x^{2k}}$. Примерами таких функций являются $y = x^{-2}$, $y = x^{-4}$ и т.д. Графики этих функций находятся в I и II координатных четвертях.

• Область определения: Знаменатель дроби не может быть равен нулю, то есть $x^{2k} \neq 0$, что означает $x \neq 0$. Таким образом, область определения функции $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Область значений: Поскольку показатель степени $2k$ является четным числом, $x^{2k} > 0$ для любого $x$ из области определения. Следовательно, значение функции $y = \frac{1}{x^{2k}}$ всегда положительно. Область значений $E(y) = (0; +\infty)$.
• Четность: Функция является четной, так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = \frac{1}{(-x)^{2k}} = \frac{1}{x^{2k}} = y(x)$. График функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).
• Нули функции: Функция не имеет нулей, так как уравнение $\frac{1}{x^{2k}} = 0$ не имеет решений. График не пересекает ось абсцисс (ось OX).
• Промежутки знакопостоянства: Функция положительна на всей области определения, то есть $y > 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Монотонность: Функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0)$ и убывает на промежутке $(0; +\infty)$.
• Экстремумы: Функция не имеет точек локального максимума или минимума.
• Асимптоты:
  • Вертикальная асимптота: $x=0$ (ось OY), так как при $x \to 0$, $y \to +\infty$.
  • Горизонтальная асимптота: $y=0$ (ось OX), так как при $x \to \pm\infty$, $y \to 0$.

Ответ: для четного $n$, функция $y=x^{-n}$ является четной, область определения $D(y)=(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, область значений $E(y)=(0; +\infty)$, возрастает на $(-\infty; 0)$, убывает на $(0; +\infty)$, имеет вертикальную асимптоту $x=0$ и горизонтальную асимптоту $y=0$.

Пусть $n$ — нечетное натуральное число. Тогда его можно представить в виде $n = 2k - 1$, где $k \in \mathbb{N}$. Функция имеет вид $y = x^{-(2k-1)} = \frac{1}{x^{2k-1}}$. Примерами таких функций являются $y = x^{-1}$ (гипербола), $y = x^{-3}$ и т.д. Графики этих функций находятся в I и III координатных четвертях.

• Область определения: Аналогично предыдущему случаю, $x \neq 0$. Область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Область значений: Если $x>0$, то $x^{2k-1}>0$ и $y>0$. Если $x<0$, то $x^{2k-1}<0$ и $y<0$. Таким образом, функция принимает все действительные значения, кроме нуля. Область значений $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Четность: Функция является нечетной, так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = \frac{1}{(-x)^{2k-1}} = \frac{1}{-x^{2k-1}} = -y(x)$. График функции симметричен относительно начала координат.
• Нули функции: Функция не имеет нулей. График не пересекает ось абсцисс (ось OX).
• Промежутки знакопостоянства: Функция положительна при $x>0$ и отрицательна при $x<0$.
• Монотонность: Функция убывает на каждом из промежутков своей области определения: на $(-\infty; 0)$ и на $(0; +\infty)$. Важно отметить, что функция не является убывающей на всей области определения.
• Экстремумы: Функция не имеет точек локального максимума или минимума.
• Асимптоты:
  • Вертикальная асимптота: $x=0$ (ось OY), так как при $x \to 0^+$ $y \to +\infty$, а при $x \to 0^-$ $y \to -\infty$.
  • Горизонтальная асимптота: $y=0$ (ось OX), так как при $x \to \pm\infty$, $y \to 0$.

Ответ: для нечетного $n$, функция $y=x^{-n}$ является нечетной, область определения $D(y)=(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, область значений $E(y)=(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, убывает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$, имеет вертикальную асимптоту $x=0$ и горизонтальную асимптоту $y=0$.