Номер 6.21, страница 55 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

6.21. Чётным или нечётным натуральным числом является показатель сте- пени $n$ функции $f(x) = x^n$, если:

1) $f(-4) > f(-2);$
2) $f(-4) < f(2);$
3) $f(-4) < f(-2);$
4) $f(4) > f(2);$
5) $f(-4) > f(2);$
6) $f(4) > f(-2)?$

1) $f(-4) > f(-2)$
Подставим значения аргументов в функцию $f(x) = x^n$. Получим неравенство $(-4)^n > (-2)^n$.
Рассмотрим два случая в зависимости от чётности натурального показателя $n$:
- Если $n$ — чётное число, то $f(x)=x^n$ является чётной функцией. Это означает, что $(-a)^n = a^n$. Неравенство принимает вид $4^n > 2^n$. Так как $4 > 2$ и $n \geq 1$, это неравенство всегда верно.
- Если $n$ — нечётное число, то $f(x)=x^n$ является нечётной функцией. Это означает, что $(-a)^n = -a^n$. Неравенство принимает вид $-4^n > -2^n$. Умножив обе части на $-1$ и изменив знак неравенства на противоположный, получим $4^n < 2^n$, что неверно для любого натурального $n$.
Таким образом, данное условие выполняется только тогда, когда $n$ — чётное число. Это также следует из того, что для чётного $n$ функция $f(x)=x^n$ убывает на промежутке $(-\infty; 0)$, и поскольку $-4 < -2$, то $f(-4) > f(-2)$.
Ответ: $n$ — чётное число.

2) $f(-4) < f(2)$
Подставим значения аргументов в функцию: $(-4)^n < 2^n$.
Рассмотрим два случая:
- Если $n$ — чётное число, неравенство принимает вид $4^n < 2^n$, что неверно для любого натурального $n$.
- Если $n$ — нечётное число, неравенство принимает вид $-4^n < 2^n$. Это неравенство всегда верно, так как в левой части стоит отрицательное число, а в правой — положительное.
Следовательно, данное условие выполняется только для нечётных $n$.
Ответ: $n$ — нечётное число.

3) $f(-4) < f(-2)$
Подставим значения аргументов в функцию: $(-4)^n < (-2)^n$.
Рассмотрим два случая:
- Если $n$ — чётное число, неравенство принимает вид $4^n < 2^n$, что неверно для любого натурального $n$.
- Если $n$ — нечётное число, неравенство принимает вид $-4^n < -2^n$. Умножив обе части на $-1$ и изменив знак, получим $4^n > 2^n$, что всегда верно для натуральных $n$.
Таким образом, данное условие выполняется только тогда, когда $n$ — нечётное число. Это также следует из того, что для нечётного $n$ функция $f(x)=x^n$ возрастает на всей числовой прямой, и поскольку $-4 < -2$, то $f(-4) < f(-2)$.
Ответ: $n$ — нечётное число.

4) $f(4) > f(2)$
Подставим значения аргументов в функцию: $4^n > 2^n$.
Поскольку основание $4 > 2$ и показатель степени $n$ — натуральное число ($n \geq 1$), это неравенство верно для любого натурального $n$.
Это означает, что условие выполняется как для чётных, так и для нечётных $n$. Функция $f(x)=x^n$ при любом натуральном $n$ возрастает на промежутке $(0; +\infty)$.
Следовательно, по этому условию определить чётность $n$ невозможно.
Ответ: определить чётность $n$ невозможно.

5) $f(-4) > f(2)$
Подставим значения аргументов в функцию: $(-4)^n > 2^n$.
Рассмотрим два случая:
- Если $n$ — чётное число, неравенство принимает вид $4^n > 2^n$, что верно для любого натурального $n$.
- Если $n$ — нечётное число, неравенство принимает вид $-4^n > 2^n$. Это неверно, так как отрицательное число не может быть больше положительного.
Следовательно, данное условие выполняется только для чётных $n$.
Ответ: $n$ — чётное число.

6) $f(4) > f(-2)$?
Будем рассматривать это как условие $f(4) > f(-2)$. Подставим значения: $4^n > (-2)^n$.
Рассмотрим два случая:
- Если $n$ — чётное число, то $(-2)^n = 2^n$. Неравенство принимает вид $4^n > 2^n$, что верно для любого натурального $n$.
- Если $n$ — нечётное число, то $(-2)^n = -2^n$. Неравенство принимает вид $4^n > -2^n$. Это неравенство также верно, так как положительное число всегда больше отрицательного.
Поскольку условие выполняется для любого натурального $n$, определить его чётность по данному условию невозможно.
Ответ: определить чётность $n$ невозможно.