Номер 6.17, страница 54 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

6.17. Постройте график функции:

1) $f(x)=\begin{cases}x^{4}, & \text{если } x<0, \\ \sqrt{x}, & \text{если } x \geq 0\end{cases}$

2) $f(x)=\begin{cases}x^{5}, & \text{если } x<-1, \\ -x-2, & \text{если } x \geq-1\end{cases}$

Пользуясь построенным графиком, укажите промежутки возрастания и промежутки убывания данной функции.

1)

Дана кусочно-заданная функция: $f(x) = \begin{cases} x^4, & \text{если } x < 0 \\ \sqrt{x}, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$.

Для построения графика этой функции рассмотрим две ее части.

Первая часть: при $x < 0$ график функции совпадает с графиком $y = x^4$. Это левая ветвь графика степенной функции с четным показателем, которая симметрична относительно оси OY. График проходит через точки $(-1, 1)$ и $(-2, 16)$. При приближении $x$ к $0$ слева, $y$ стремится к $0$. На всем промежутке $(-\infty, 0)$ эта часть графика убывает.

Вторая часть: при $x \ge 0$ график функции совпадает с графиком $y = \sqrt{x}$. Это стандартный график функции квадратного корня, который является ветвью параболы, симметричной относительно оси OX. График начинается в точке $(0, 0)$ и проходит через точки $(1, 1)$ и $(4, 2)$. На всем промежутке $[0, +\infty)$ эта часть графика возрастает.

Совместим обе части на одной координатной плоскости. В точке $x=0$ функция непрерывна, так как предел слева ($\lim_{x\to 0^-} x^4 = 0$) равен значению функции в этой точке ($f(0) = \sqrt{0} = 0$). График представляет собой кривую, которая сначала убывает, достигает точки минимума в $(0, 0)$, а затем возрастает.

Пользуясь построенным графиком, определяем промежутки монотонности:

• Функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$.
• Функция возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.

2)

Дана кусочно-заданная функция: $f(x) = \begin{cases} x^5, & \text{если } x < -1 \\ -x-2, & \text{если } x \ge -1 \end{cases}$.

Для построения графика этой функции рассмотрим две ее части.

Первая часть: при $x < -1$ график функции совпадает с графиком $y = x^5$. Это ветвь графика степенной функции с нечетным показателем. При $x \to -1$ слева, $y \to (-1)^5 = -1$. На всем промежутке $(-\infty, -1)$ эта часть графика возрастает (так как производная $y' = 5x^4 > 0$).

Вторая часть: при $x \ge -1$ график функции совпадает с графиком $y = -x-2$. Это линейная функция, ее график — луч. Найдем начальную точку луча: при $x=-1$, $y=-(-1)-2 = -1$. Луч начинается в точке $(-1, -1)$. Для построения возьмем еще одну точку, например, при $x=0$, $y=-2$. Прямая проходит через точки $(-1, -1)$ и $(0, -2)$. Так как угловой коэффициент равен $-1$, эта часть графика убывает на всем промежутке $[-1, +\infty)$.

Совместим обе части на одной координатной плоскости. В точке $x=-1$ функция непрерывна, так как предел слева ($\lim_{x\to -1^-} x^5 = -1$) равен значению функции в этой точке ($f(-1)=-(-1)-2 = -1$). График представляет собой кривую, которая сначала возрастает, достигает точки локального максимума в $(-1, -1)$, а затем убывает.

Пользуясь построенным графиком, определяем промежутки монотонности:

• Функция возрастает на промежутке $(-\infty, -1]$.
• Функция убывает на промежутке $[-1, +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, -1]$ и убывает на промежутке $[-1, +\infty)$.