Номер 6.22, страница 55 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

6.22. Вычислите значение выражения:

1) $3^{-1} - 4^{-1}$;

2) $2^{-3} + 6^{-2}$;

3) $(\frac{2}{7})^{-1} + (-2,3)^0 - 5^{-2}$;

4) $9 \cdot 0,1^{-1}$;

5) $0,5^{-2} \cdot 4^{-1}$;

6) $(2^{-1} - 8^{-1} \cdot 16)^{-1}$.

1) Для вычисления значения выражения $3^{-1} - 4^{-1}$ воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
$3^{-1} = \frac{1}{3}$
$4^{-1} = \frac{1}{4}$
Следовательно, выражение принимает вид:
$3^{-1} - 4^{-1} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$
Приводим дроби к общему знаменателю 12:
$\frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{4}{12} - \frac{3}{12} = \frac{4-3}{12} = \frac{1}{12}$.
Ответ: $\frac{1}{12}$.

2) Для вычисления $2^{-3} + 6^{-2}$ используем то же свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$
$6^{-2} = \frac{1}{6^2} = \frac{1}{36}$
Складываем полученные дроби:
$\frac{1}{8} + \frac{1}{36}$
Наименьший общий знаменатель для 8 и 36 равен 72.
$\frac{1 \cdot 9}{8 \cdot 9} + \frac{1 \cdot 2}{36 \cdot 2} = \frac{9}{72} + \frac{2}{72} = \frac{9+2}{72} = \frac{11}{72}$.
Ответ: $\frac{11}{72}$.

3) Вычислим значение выражения $(\frac{2}{7})^{-1} + (-2,3)^0 - 5^{-2}$ по частям.
Первый член: $(\frac{2}{7})^{-1}$. По свойству $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$ получаем $(\frac{2}{7})^{-1} = \frac{7}{2} = 3,5$.
Второй член: $(-2,3)^0$. Любое ненулевое число в степени 0 равно 1, поэтому $(-2,3)^0 = 1$.
Третий член: $5^{-2}$. По свойству $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ получаем $5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25} = 0,04$.
Теперь сложим и вычтем полученные значения:
$3,5 + 1 - 0,04 = 4,5 - 0,04 = 4,46$.
Ответ: $4,46$.

4) В выражении $9 \cdot 0,1^{-1}$ сначала вычислим степень.
Представим 0,1 в виде дроби: $0,1 = \frac{1}{10}$.
Тогда $0,1^{-1} = (\frac{1}{10})^{-1} = \frac{10}{1} = 10$.
Теперь выполним умножение:
$9 \cdot 10 = 90$.
Ответ: $90$.

5) В выражении $0,5^{-2} \cdot 4^{-1}$ вычислим каждый множитель отдельно.
$0,5 = \frac{1}{2}$, тогда $0,5^{-2} = (\frac{1}{2})^{-2} = (\frac{2}{1})^2 = 2^2 = 4$.
$4^{-1} = \frac{1}{4}$.
Перемножим результаты:
$4 \cdot \frac{1}{4} = 1$.
Ответ: $1$.

6) Для вычисления $(2^{-1} - 8^{-1} \cdot 16)^{-1}$ сначала выполним действия в скобках, соблюдая порядок.
1. Умножение: $8^{-1} \cdot 16 = \frac{1}{8} \cdot 16 = \frac{16}{8} = 2$.
2. Вычитание: $2^{-1} - 2 = \frac{1}{2} - 2 = \frac{1}{2} - \frac{4}{2} = -\frac{3}{2}$.
3. Возведение в степень: теперь нужно возвести результат в степень -1.
$(-\frac{3}{2})^{-1} = -\frac{2}{3}$.
Ответ: $-\frac{2}{3}$.