Страница 55 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

6.19. Сколько корней в зависимости от значения a имеет уравнение:

1) $x^{12} = a - 6;$

2) $x^{24} = a^{2} + 7a - 8?$

1) $x^{12} = a - 6$

Данное уравнение имеет вид $x^{2n} = b$, где $2n = 12$ - четная степень, а $b = a - 6$. Количество корней такого уравнения зависит от знака выражения в правой части.

Рассмотрим три случая:

1. Если правая часть больше нуля, то уравнение имеет два корня.

   $a - 6 > 0 \implies a > 6$

   При $a > 6$ уравнение имеет два корня: $x_1 = \sqrt[12]{a-6}$ и $x_2 = -\sqrt[12]{a-6}$.

2. Если правая часть равна нулю, то уравнение имеет один корень.

   $a - 6 = 0 \implies a = 6$

   При $a = 6$ уравнение принимает вид $x^{12} = 0$, откуда $x=0$.

3. Если правая часть меньше нуля, то уравнение не имеет действительных корней, так как четная степень любого действительного числа неотрицательна.

   $a - 6 < 0 \implies a < 6$

   При $a < 6$ у уравнения нет корней.

Ответ: если $a < 6$, корней нет; если $a = 6$, один корень; если $a > 6$, два корня.

2) $x^{24} = a^2 + 7a - 8$

Это уравнение также имеет вид $x^{2n} = b$, где $2n = 24$ - четная степень, а $b = a^2 + 7a - 8$. Количество корней зависит от знака выражения $a^2 + 7a - 8$.

Исследуем знак квадратного трехчлена $f(a) = a^2 + 7a - 8$. Найдем его корни:

$a^2 + 7a - 8 = 0$

По теореме Виета (или через дискриминант):

$D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81 = 9^2$

$a_1 = \frac{-7 - 9}{2} = -8$

$a_2 = \frac{-7 + 9}{2} = 1$

Графиком функции $f(a) = a^2 + 7a - 8$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, выражение положительно вне интервала между корнями и отрицательно внутри него.

Рассмотрим три случая:

1. Уравнение имеет два корня, если правая часть больше нуля:

   $a^2 + 7a - 8 > 0$

   Это выполняется при $a \in (-\infty; -8) \cup (1; +\infty)$.

2. Уравнение имеет один корень ($x=0$), если правая часть равна нулю:

   $a^2 + 7a - 8 = 0$

   Это выполняется при $a = -8$ или $a = 1$.

3. Уравнение не имеет корней, если правая часть меньше нуля:

   $a^2 + 7a - 8 < 0$

   Это выполняется при $a \in (-8; 1)$.

Ответ: если $a \in (-8; 1)$, корней нет; если $a = -8$ или $a = 1$, один корень; если $a \in (-\infty; -8) \cup (1; +\infty)$, два корня.

6.20. Сколько корней в зависимости от значения $a$ имеет уравнение $x^8 = 9a - a^3$?

Данное уравнение имеет вид $x^8 = C$, где $C$ — выражение, зависящее от параметра $a$. Левая часть уравнения, $x^8$, является четной степенью переменной $x$, поэтому она всегда неотрицательна, то есть $x^8 \ge 0$ для любого действительного $x$.

Количество действительных корней уравнения зависит от знака правой части, то есть от значения выражения $9a - a^3$.

Рассмотрим три возможных случая в зависимости от знака выражения $f(a) = 9a - a^3$.

Случай 1: Правая часть больше нуля ($9a - a^3 > 0$)

Если $9a - a^3 > 0$, то уравнение $x^8 = 9a - a^3$ будет иметь два действительных корня: $x_1 = \sqrt[8]{9a - a^3}$ и $x_2 = -\sqrt[8]{9a - a^3}$.

Найдем, при каких значениях $a$ выполняется это неравенство. Разложим левую часть на множители: $a(9 - a^2) > 0$ $a(3 - a)(3 + a) > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Корни выражения $a(3-a)(3+a)$ равны $a=-3$, $a=0$ и $a=3$. Эти точки разбивают числовую ось на интервалы. Определим знак выражения на каждом из них:

- при $a \in (-\infty, -3)$ выражение положительно.
- при $a \in (-3, 0)$ выражение отрицательно.
- при $a \in (0, 3)$ выражение положительно.
- при $a \in (3, \infty)$ выражение отрицательно.

Следовательно, неравенство $9a - a^3 > 0$ выполняется при $a \in (-\infty, -3) \cup (0, 3)$. В этих случаях уравнение имеет два корня.

Случай 2: Правая часть равна нулю ($9a - a^3 = 0$)

Если $9a - a^3 = 0$, уравнение принимает вид $x^8 = 0$, которое имеет единственный корень $x=0$.

Найдем значения $a$, при которых $9a - a^3 = 0$: $a(9 - a^2) = 0$ $a(3 - a)(3 + a) = 0$

Это равенство верно при $a = -3$, $a = 0$ и $a = 3$. В этих случаях уравнение имеет один корень.

Случай 3: Правая часть меньше нуля ($9a - a^3 < 0$)

Если $9a - a^3 < 0$, уравнение $x^8 = 9a - a^3$ не имеет действительных корней, так как неотрицательное число ($x^8$) не может быть равно отрицательному.

Из анализа в первом случае следует, что неравенство $9a - a^3 < 0$ выполняется при $a \in (-3, 0) \cup (3, \infty)$. В этих случаях уравнение не имеет корней.

Ответ:
- если $a \in (-3, 0) \cup (3, \infty)$, то корней нет;
- если $a = -3$, $a = 0$ или $a = 3$, то один корень;
- если $a \in (-\infty, -3) \cup (0, 3)$, то два корня.

6.21. Чётным или нечётным натуральным числом является показатель сте- пени $n$ функции $f(x) = x^n$, если:

1) $f(-4) > f(-2);$
2) $f(-4) < f(2);$
3) $f(-4) < f(-2);$
4) $f(4) > f(2);$
5) $f(-4) > f(2);$
6) $f(4) > f(-2)?$

1) $f(-4) > f(-2)$
Подставим значения аргументов в функцию $f(x) = x^n$. Получим неравенство $(-4)^n > (-2)^n$.
Рассмотрим два случая в зависимости от чётности натурального показателя $n$:
- Если $n$ — чётное число, то $f(x)=x^n$ является чётной функцией. Это означает, что $(-a)^n = a^n$. Неравенство принимает вид $4^n > 2^n$. Так как $4 > 2$ и $n \geq 1$, это неравенство всегда верно.
- Если $n$ — нечётное число, то $f(x)=x^n$ является нечётной функцией. Это означает, что $(-a)^n = -a^n$. Неравенство принимает вид $-4^n > -2^n$. Умножив обе части на $-1$ и изменив знак неравенства на противоположный, получим $4^n < 2^n$, что неверно для любого натурального $n$.
Таким образом, данное условие выполняется только тогда, когда $n$ — чётное число. Это также следует из того, что для чётного $n$ функция $f(x)=x^n$ убывает на промежутке $(-\infty; 0)$, и поскольку $-4 < -2$, то $f(-4) > f(-2)$.
Ответ: $n$ — чётное число.

2) $f(-4) < f(2)$
Подставим значения аргументов в функцию: $(-4)^n < 2^n$.
Рассмотрим два случая:
- Если $n$ — чётное число, неравенство принимает вид $4^n < 2^n$, что неверно для любого натурального $n$.
- Если $n$ — нечётное число, неравенство принимает вид $-4^n < 2^n$. Это неравенство всегда верно, так как в левой части стоит отрицательное число, а в правой — положительное.
Следовательно, данное условие выполняется только для нечётных $n$.
Ответ: $n$ — нечётное число.

3) $f(-4) < f(-2)$
Подставим значения аргументов в функцию: $(-4)^n < (-2)^n$.
Рассмотрим два случая:
- Если $n$ — чётное число, неравенство принимает вид $4^n < 2^n$, что неверно для любого натурального $n$.
- Если $n$ — нечётное число, неравенство принимает вид $-4^n < -2^n$. Умножив обе части на $-1$ и изменив знак, получим $4^n > 2^n$, что всегда верно для натуральных $n$.
Таким образом, данное условие выполняется только тогда, когда $n$ — нечётное число. Это также следует из того, что для нечётного $n$ функция $f(x)=x^n$ возрастает на всей числовой прямой, и поскольку $-4 < -2$, то $f(-4) < f(-2)$.
Ответ: $n$ — нечётное число.

4) $f(4) > f(2)$
Подставим значения аргументов в функцию: $4^n > 2^n$.
Поскольку основание $4 > 2$ и показатель степени $n$ — натуральное число ($n \geq 1$), это неравенство верно для любого натурального $n$.
Это означает, что условие выполняется как для чётных, так и для нечётных $n$. Функция $f(x)=x^n$ при любом натуральном $n$ возрастает на промежутке $(0; +\infty)$.
Следовательно, по этому условию определить чётность $n$ невозможно.
Ответ: определить чётность $n$ невозможно.

5) $f(-4) > f(2)$
Подставим значения аргументов в функцию: $(-4)^n > 2^n$.
Рассмотрим два случая:
- Если $n$ — чётное число, неравенство принимает вид $4^n > 2^n$, что верно для любого натурального $n$.
- Если $n$ — нечётное число, неравенство принимает вид $-4^n > 2^n$. Это неверно, так как отрицательное число не может быть больше положительного.
Следовательно, данное условие выполняется только для чётных $n$.
Ответ: $n$ — чётное число.

6) $f(4) > f(-2)$?
Будем рассматривать это как условие $f(4) > f(-2)$. Подставим значения: $4^n > (-2)^n$.
Рассмотрим два случая:
- Если $n$ — чётное число, то $(-2)^n = 2^n$. Неравенство принимает вид $4^n > 2^n$, что верно для любого натурального $n$.
- Если $n$ — нечётное число, то $(-2)^n = -2^n$. Неравенство принимает вид $4^n > -2^n$. Это неравенство также верно, так как положительное число всегда больше отрицательного.
Поскольку условие выполняется для любого натурального $n$, определить его чётность по данному условию невозможно.
Ответ: определить чётность $n$ невозможно.

6.22. Вычислите значение выражения:

1) $3^{-1} - 4^{-1}$;

2) $2^{-3} + 6^{-2}$;

3) $(\frac{2}{7})^{-1} + (-2,3)^0 - 5^{-2}$;

4) $9 \cdot 0,1^{-1}$;

5) $0,5^{-2} \cdot 4^{-1}$;

6) $(2^{-1} - 8^{-1} \cdot 16)^{-1}$.

1) Для вычисления значения выражения $3^{-1} - 4^{-1}$ воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
$3^{-1} = \frac{1}{3}$
$4^{-1} = \frac{1}{4}$
Следовательно, выражение принимает вид:
$3^{-1} - 4^{-1} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$
Приводим дроби к общему знаменателю 12:
$\frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{4}{12} - \frac{3}{12} = \frac{4-3}{12} = \frac{1}{12}$.
Ответ: $\frac{1}{12}$.

2) Для вычисления $2^{-3} + 6^{-2}$ используем то же свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$
$6^{-2} = \frac{1}{6^2} = \frac{1}{36}$
Складываем полученные дроби:
$\frac{1}{8} + \frac{1}{36}$
Наименьший общий знаменатель для 8 и 36 равен 72.
$\frac{1 \cdot 9}{8 \cdot 9} + \frac{1 \cdot 2}{36 \cdot 2} = \frac{9}{72} + \frac{2}{72} = \frac{9+2}{72} = \frac{11}{72}$.
Ответ: $\frac{11}{72}$.

3) Вычислим значение выражения $(\frac{2}{7})^{-1} + (-2,3)^0 - 5^{-2}$ по частям.
Первый член: $(\frac{2}{7})^{-1}$. По свойству $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$ получаем $(\frac{2}{7})^{-1} = \frac{7}{2} = 3,5$.
Второй член: $(-2,3)^0$. Любое ненулевое число в степени 0 равно 1, поэтому $(-2,3)^0 = 1$.
Третий член: $5^{-2}$. По свойству $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ получаем $5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25} = 0,04$.
Теперь сложим и вычтем полученные значения:
$3,5 + 1 - 0,04 = 4,5 - 0,04 = 4,46$.
Ответ: $4,46$.

4) В выражении $9 \cdot 0,1^{-1}$ сначала вычислим степень.
Представим 0,1 в виде дроби: $0,1 = \frac{1}{10}$.
Тогда $0,1^{-1} = (\frac{1}{10})^{-1} = \frac{10}{1} = 10$.
Теперь выполним умножение:
$9 \cdot 10 = 90$.
Ответ: $90$.

5) В выражении $0,5^{-2} \cdot 4^{-1}$ вычислим каждый множитель отдельно.
$0,5 = \frac{1}{2}$, тогда $0,5^{-2} = (\frac{1}{2})^{-2} = (\frac{2}{1})^2 = 2^2 = 4$.
$4^{-1} = \frac{1}{4}$.
Перемножим результаты:
$4 \cdot \frac{1}{4} = 1$.
Ответ: $1$.

6) Для вычисления $(2^{-1} - 8^{-1} \cdot 16)^{-1}$ сначала выполним действия в скобках, соблюдая порядок.
1. Умножение: $8^{-1} \cdot 16 = \frac{1}{8} \cdot 16 = \frac{16}{8} = 2$.
2. Вычитание: $2^{-1} - 2 = \frac{1}{2} - 2 = \frac{1}{2} - \frac{4}{2} = -\frac{3}{2}$.
3. Возведение в степень: теперь нужно возвести результат в степень -1.
$(-\frac{3}{2})^{-1} = -\frac{2}{3}$.
Ответ: $-\frac{2}{3}$.

6.23. Представьте в виде дроби выражение:

1) $a^{-2} + a^{-3};$

2) $mn^{-4} + m^{-4}n;$

3) $(c^{-1} - d^{-1})(c - d)^{-2}.$

1) $a^{-2} + a^{-3}$
Чтобы представить выражение в виде дроби, воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$.
$a^{-2} + a^{-3} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{a^3}$
Далее приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для дробей со знаменателями $a^2$ и $a^3$ является $a^3$. Домножим первую дробь на дополнительный множитель $a$:
$\frac{1 \cdot a}{a^2 \cdot a} + \frac{1}{a^3} = \frac{a}{a^3} + \frac{1}{a^3}$
Теперь сложим дроби с одинаковыми знаменателями:
$\frac{a + 1}{a^3}$
Ответ: $\frac{a + 1}{a^3}$

2) $mn^{-4} + m^{-4}n$
Применим свойство степени с отрицательным показателем $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$ к каждому слагаемому:
$mn^{-4} + m^{-4}n = m \cdot \frac{1}{n^4} + \frac{1}{m^4} \cdot n = \frac{m}{n^4} + \frac{n}{m^4}$
Приведем полученные дроби к общему знаменателю $m^4n^4$. Домножим первую дробь на $m^4$, а вторую на $n^4$:
$\frac{m \cdot m^4}{n^4 \cdot m^4} + \frac{n \cdot n^4}{m^4 \cdot n^4} = \frac{m^5}{m^4n^4} + \frac{n^5}{m^4n^4}$
Сложим дроби:
$\frac{m^5 + n^5}{m^4n^4}$
Ответ: $\frac{m^5 + n^5}{m^4n^4}$

3) $(c^{-1} - d^{-1})(c - d)^{-2}$
Преобразуем каждый множитель по отдельности, используя свойство $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$.
Преобразуем первую скобку:
$c^{-1} - d^{-1} = \frac{1}{c} - \frac{1}{d}$
Приведем к общему знаменателю $cd$:
$\frac{1 \cdot d}{c \cdot d} - \frac{1 \cdot c}{d \cdot c} = \frac{d - c}{cd}$
Преобразуем вторую скобку:
$(c - d)^{-2} = \frac{1}{(c - d)^2}$
Теперь перемножим полученные дроби:
$\frac{d - c}{cd} \cdot \frac{1}{(c - d)^2} = \frac{d - c}{cd(c - d)^2}$
Заметим, что в числителе стоит выражение $d - c$, которое можно представить как $-(c - d)$. Выполним замену и сократим дробь на общий множитель $(c-d)$:
$\frac{-(c - d)}{cd(c - d)^2} = \frac{-1}{cd(c - d)} = -\frac{1}{cd(c - d)}$
Ответ: $-\frac{1}{cd(c - d)}$