Страница 54 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

6.7. Решите уравнение:

1) $x^5 = 32$;

2) $x^3 = -\frac{8}{27}$;

3) $x^4 = 81$;

4) $x^4 = -16$.

1) $x^5 = 32$

Это уравнение вида $x^n = a$, где $n$ - нечетное натуральное число ($n=5$). Такое уравнение всегда имеет единственный действительный корень, который находится по формуле $x = \sqrt[n]{a}$.

В нашем случае:

$x = \sqrt[5]{32}$

Чтобы найти корень пятой степени из 32, нужно найти число, которое при возведении в пятую степень дает 32. Мы знаем, что $2^5 = 32$.

Следовательно, $x = 2$.

Ответ: $x=2$.

2) $x^3 = -\frac{8}{27}$

Это уравнение вида $x^n = a$, где $n$ - нечетное натуральное число ($n=3$). Уравнение имеет единственный действительный корень $x = \sqrt[n]{a}$.

В данном случае:

$x = \sqrt[3]{-\frac{8}{27}}$

Корень нечетной степени из отрицательного числа равен отрицательному корню из модуля этого числа. Также используем свойство корня из дроби $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$:

$x = -\sqrt[3]{\frac{8}{27}} = -\frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}}$

Так как $2^3 = 8$ и $3^3 = 27$, то $\sqrt[3]{8} = 2$ и $\sqrt[3]{27} = 3$.

Следовательно, $x = -\frac{2}{3}$.

Ответ: $x=-\frac{2}{3}$.

3) $x^4 = 81$

Это уравнение вида $x^n = a$, где $n$ - четное натуральное число ($n=4$) и $a > 0$. Такое уравнение имеет два действительных корня, которые находятся по формуле $x = \pm \sqrt[n]{a}$.

Применим формулу к нашему уравнению:

$x = \pm \sqrt[4]{81}$

Чтобы найти корень четвертой степени из 81, нужно найти положительное число, которое при возведении в четвертую степень дает 81. Мы знаем, что $3^4 = 81$.

Следовательно, корни уравнения: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Ответ: $x = \pm 3$.

4) $x^4 = -16$

Это уравнение вида $x^n = a$, где $n$ - четное натуральное число ($n=4$) и $a < 0$.

В области действительных чисел любое число, возведенное в четную степень, является неотрицательным. То есть, для любого действительного числа $x$ выполняется неравенство $x^4 \ge 0$.

Правая часть уравнения равна -16, что является отрицательным числом.

Поскольку левая часть уравнения не может быть отрицательной, а правая часть отрицательна, равенство $x^4 = -16$ невозможно ни при каких действительных значениях $x$.

Ответ: действительных корней нет.

6.8. Решите уравнение:

1) $x^3 = -27;$

2) $x^5 = 0,00032;$

3) $x^6 = 64;$

4) $x^8 = -1.$

1) $x^3 = -27$

Чтобы решить данное уравнение, необходимо найти число $x$, которое при возведении в третью степень даст -27. Это эквивалентно извлечению кубического корня из -27.

$x = \sqrt[3]{-27}$

Так как показатель степени (3) нечетный, уравнение имеет один действительный корень. Известно, что $3^3 = 27$, следовательно, $(-3)^3 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -27$.

Таким образом, корень уравнения равен -3.

Ответ: -3.

2) $x^5 = 0,00032$

В данном уравнении показатель степени (5) является нечетным числом, поэтому уравнение имеет один действительный корень. Для его нахождения извлечем корень пятой степени из обеих частей уравнения.

$x = \sqrt[5]{0,00032}$

Представим десятичное число 0,00032 в виде обыкновенной дроби: $0,00032 = \frac{32}{100000}$.

Тогда $x = \sqrt[5]{\frac{32}{100000}} = \frac{\sqrt[5]{32}}{\sqrt[5]{100000}}$.

Найдем корни для числителя и знаменателя: $\sqrt[5]{32} = 2$, так как $2^5 = 32$. И $\sqrt[5]{100000} = 10$, так как $10^5 = 100000$.

Следовательно, $x = \frac{2}{10} = 0,2$.

Ответ: 0,2.

3) $x^6 = 64$

В этом уравнении показатель степени (6) — четное число, а правая часть (64) — положительное число. В таком случае уравнение имеет два действительных корня, которые являются противоположными числами.

$x = \pm \sqrt[6]{64}$

Найдем положительный корень. Нам нужно число, которое в шестой степени равно 64. Мы знаем, что $2^6 = 64$.

Значит, корнями уравнения являются $x = 2$ и $x = -2$.

Ответ: $\pm 2$.

4) $x^8 = -1$

Показатель степени в уравнении (8) является четным числом. Любое действительное число, возведенное в четную степень, всегда дает неотрицательный результат, то есть $x^8 \ge 0$ для любого действительного $x$.

Правая часть уравнения равна -1, что является отрицательным числом. Равенство $x^8 = -1$ невозможно в области действительных чисел.

Следовательно, данное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет.

6.9. Расположите в порядке убывания значения выражений $(-\frac{3}{4})^5$, $(-2\frac{1}{3})^5$, $(-\frac{2}{3})^5$, $(-2\frac{2}{5})^5$.

6.9. Чтобы расположить значения выражений в порядке убывания, необходимо их сравнить. Все выражения представляют собой отрицательные числа, возведенные в нечетную степень 5. Результат возведения отрицательного числа в нечетную степень всегда будет отрицательным числом.

Рассмотрим функцию $y=x^5$. Эта функция является монотонно возрастающей на всей числовой оси. Это означает, что для любых двух чисел $a$ и $b$, если $a > b$, то и $a^5 > b^5$. Таким образом, чтобы расположить данные выражения в порядке убывания, достаточно расположить в порядке убывания их основания. Порядок для степеней будет таким же, как и для оснований.

Основаниями степеней являются числа: $-\frac{3}{4}$, $-2\frac{1}{3}$, $-\frac{2}{3}$ и $-2\frac{2}{5}$.

Для сравнения этих чисел, представим их в виде десятичных дробей:
$-\frac{3}{4} = -0.75$
$-2\frac{1}{3} = -\frac{7}{3} \approx -2.333...$
$-\frac{2}{3} \approx -0.666...$
$-2\frac{2}{5} = -\frac{12}{5} = -2.4$

Теперь расположим эти числа в порядке убывания (от наибольшего к наименьшему). Из двух отрицательных чисел больше то, чей модуль меньше.

$-0.666... > -0.75 > -2.333... > -2.4$

Следовательно, порядок для исходных дробей будет таким:

$-\frac{2}{3} > -\frac{3}{4} > -2\frac{1}{3} > -2\frac{2}{5}$

Поскольку функция $y=x^5$ возрастающая, тот же порядок сохраняется и для значений выражений, возведенных в пятую степень:

$\left(-\frac{2}{3}\right)^5 > \left(-\frac{3}{4}\right)^5 > \left(-2\frac{1}{3}\right)^5 > \left(-2\frac{2}{5}\right)^5$

Ответ: $\left(-\frac{2}{3}\right)^5, \left(-\frac{3}{4}\right)^5, \left(-2\frac{1}{3}\right)^5, \left(-2\frac{2}{5}\right)^5$.

6.10. Расположите в порядке возрастания значения выражений $(1,06)^4$, $(-0,48)^4$, $(-2,12)^4$, $(-3,25)^4$.

Для того чтобы расположить значения данных выражений в порядке возрастания, необходимо их сравнить. Все выражения представляют собой числа, возведенные в четвертую степень. Показатель степени $4$ является четным числом.

Ключевое свойство возведения любого действительного числа в четную степень заключается в том, что результат всегда является неотрицательным. Для любого действительного числа $a$ и любого четного натурального числа $n$ справедливо равенство $(-a)^n = a^n$.

Используя это свойство, мы можем преобразовать выражения с отрицательными основаниями:
$(-0,48)^4 = (0,48)^4$
$(-2,12)^4 = (2,12)^4$
$(-3,25)^4 = (3,25)^4$

Теперь задача сводится к сравнению следующих выражений, у которых все основания положительны: $(1,06)^4$, $(0,48)^4$, $(2,12)^4$, $(3,25)^4$.

Рассмотрим функцию $y = x^4$. Для неотрицательных значений $x$ (то есть при $x \ge 0$) эта функция является возрастающей. Это означает, что чем больше положительное основание, тем больше будет результат при возведении в одну и ту же положительную степень.

Сравним основания степеней: $1,06$; $0,48$; $2,12$; $3,25$.

Расположим эти основания в порядке возрастания:
$0,48 < 1,06 < 2,12 < 3,25$

Поскольку основания положительны, их четвертые степени будут расположены в том же порядке:
$(0,48)^4 < (1,06)^4 < (2,12)^4 < (3,25)^4$

Наконец, вернемся к исходной форме записи выражений, чтобы получить итоговый порядок:
$(-0,48)^4 < (1,06)^4 < (-2,12)^4 < (-3,25)^4$

Ответ: $(-0,48)^4; (1,06)^4; (-2,12)^4; (-3,25)^4.$

6.11. Постройте график функции:

1) $y = x^3 - 1$;

2) $y = (x+2)^3$;

3) $y = -x^3$;

4) $y = x^4 - 4$;

5) $y = (x - 1)^4$;

6) $y = -\frac{1}{2}x^4$.

1) $y = x^3 - 1$

Для построения графика данной функции необходимо выполнить преобразование графика базовой функции $y = x^3$ (кубическая парабола). График функции $y = f(x) - c$ получается из графика $y = f(x)$ путем параллельного переноса на $c$ единиц вниз вдоль оси ординат ($OY$). В данном случае $f(x) = x^3$ и $c=1$. Следовательно, чтобы построить график функции $y = x^3 - 1$, нужно построить график функции $y = x^3$ и сдвинуть его на 1 единицу вниз. Основные точки для $y = x^3$: $(-2, -8)$, $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(2, 8)$. После сдвига на 1 вниз они преобразуются в точки для $y = x^3 - 1$: $(-2, -9)$, $(-1, -2)$, $(0, -1)$, $(1, 0)$, $(2, 7)$.

Ответ: График функции $y = x^3 - 1$ получается из графика функции $y = x^3$ путем параллельного переноса на 1 единицу вниз вдоль оси $OY$.

2) $y = (x + 2)^3$

Этот график строится путем преобразования графика базовой функции $y = x^3$. График функции $y = f(x + c)$ получается из графика $y = f(x)$ путем параллельного переноса на $c$ единиц влево вдоль оси абсцисс ($OX$). В данном случае $f(x) = x^3$ и $c=2$. Значит, для построения графика функции $y = (x + 2)^3$ необходимо график $y = x^3$ сдвинуть на 2 единицы влево. Центр симметрии графика, точка $(0, 0)$, сместится в точку $(-2, 0)$. Точка $(1, 1)$ сместится в $(-1, 1)$, а точка $(-1, -1)$ — в $(-3, -1)$.

Ответ: График функции $y = (x + 2)^3$ получается из графика функции $y = x^3$ путем параллельного переноса на 2 единицы влево вдоль оси $OX$.

3) $y = -x^3$

График функции $y = -x^3$ получается из графика базовой функции $y = x^3$ путем симметричного отражения. График функции $y = -f(x)$ получается из графика $y = f(x)$ путем его симметричного отражения относительно оси абсцисс ($OX$). В данном случае $f(x) = x^3$. Чтобы построить график $y = -x^3$, нужно график $y = x^3$ отразить относительно оси $OX$. Точки с положительными ординатами перейдут в точки с отрицательными, и наоборот. Например, точка $(1, 1)$ перейдет в $(1, -1)$, а точка $(2, 8)$ — в $(2, -8)$. Точка $(-1, -1)$ перейдет в $(-1, 1)$. Точка $(0,0)$ останется на месте.

Ответ: График функции $y = -x^3$ получается из графика функции $y = x^3$ путем симметричного отражения относительно оси $OX$.

4) $y = x^4 - 4$

Для построения этого графика выполним преобразование графика базовой функции $y = x^4$. График $y=x^4$ — это кривая, симметричная относительно оси $OY$, проходящая через начало координат, похожая на параболу, но более "плоская" у вершины. Преобразование $y = f(x) - c$ означает сдвиг графика $y=f(x)$ на $c$ единиц вниз. Здесь $f(x)=x^4$ и $c=4$. Таким образом, график $y = x^4$ необходимо сдвинуть на 4 единицы вниз вдоль оси $OY$. Вершина из точки $(0, 0)$ переместится в точку $(0, -4)$. Точки $(1, 1)$ и $(-1, 1)$ переместятся в $(1, -3)$ и $(-1, -3)$ соответственно.

Ответ: График функции $y = x^4 - 4$ получается из графика функции $y = x^4$ путем параллельного переноса на 4 единицы вниз вдоль оси $OY$.

5) $y = (x - 1)^4$

Этот график строится путем преобразования графика базовой функции $y = x^4$. Преобразование $y = f(x - c)$ соответствует сдвигу графика $y=f(x)$ на $c$ единиц вправо вдоль оси абсцисс ($OX$). В нашем случае $f(x) = x^4$ и $c=1$. Следовательно, для построения графика $y = (x - 1)^4$ нужно сдвинуть график $y = x^4$ на 1 единицу вправо. Вершина из точки $(0, 0)$ сместится в точку $(1, 0)$. Точка $(1, 1)$ сместится в $(2, 1)$, а точка $(-1, 1)$ — в $(0, 1)$.

Ответ: График функции $y = (x - 1)^4$ получается из графика функции $y = x^4$ путем параллельного переноса на 1 единицу вправо вдоль оси $OX$.

6) $y = \frac{1}{2}x^4$

График данной функции получается из графика базовой функции $y = x^4$ путем вертикального сжатия. Преобразование вида $y = k \cdot f(x)$ при $0 < k < 1$ означает сжатие графика $y=f(x)$ к оси $OX$ в $\frac{1}{k}$ раз. В нашем случае $f(x) = x^4$ и $k = \frac{1}{2}$. Это означает, что ордината каждой точки графика $y=x^4$ умножается на $\frac{1}{2}$. Точка $(0, 0)$ остается на месте. Точка $(1, 1)$ переходит в $(1, \frac{1}{2})$. Точка $(2, 16)$ переходит в $(2, 8)$. График становится "шире" или более "прижатым" к оси $OX$ по сравнению с исходным.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{2}x^4$ получается из графика функции $y = x^4$ путем сжатия вдоль оси $OY$ (к оси $OX$) в 2 раза.

6.12. Постройте график функции:

1) $y = x^3 + 3;$

2) $y = (x - 3)^3;$

3) $y = x^4 + 2;$

4) $y = (x + 1)^4;$

5) $y = \frac{1}{4}x^3;$

6) $y = -x^4.$

Для построения графиков данных функций мы будем использовать метод преобразования графиков элементарных функций $y=x^3$ и $y=x^4$.

1) $y = x^3 + 3$

График этой функции можно получить из графика базовой функции $y = x^3$ (кубическая парабола). Преобразование имеет вид $f(x) + c$, где $c = 3$. Это означает параллельный перенос (сдвиг) графика базовой функции вдоль оси ординат (оси OY).

Порядок построения:

1. Строим график функции $y = x^3$. Это кривая, проходящая через начало координат (0,0), симметричная относительно начала координат. Контрольные точки: (-2, -8), (-1, -1), (0, 0), (1, 1), (2, 8).
2. Сдвигаем построенный график на 3 единицы вверх вдоль оси OY. Каждая точка $(x, y)$ графика $y=x^3$ перейдет в точку $(x, y+3)$. Например, точка (0, 0) перейдет в (0, 3), точка (1, 1) в (1, 4), точка (-1, -1) в (-1, 2).

Для точности построим таблицу значений:

Ответ: График функции $y = x^3 + 3$ — это кубическая парабола $y = x^3$, смещенная на 3 единицы вверх вдоль оси ординат.

2) $y = (x - 3)^3$

График этой функции можно получить из графика базовой функции $y = x^3$. Преобразование имеет вид $f(x - c)$, где $c = 3$. Это означает параллельный перенос (сдвиг) графика базовой функции вдоль оси абсцисс (оси OX).

Порядок построения:

1. Строим график функции $y = x^3$.
2. Сдвигаем построенный график на 3 единицы вправо вдоль оси OX. Каждая точка $(x, y)$ графика $y=x^3$ перейдет в точку $(x+3, y)$. Центр симметрии (0,0) переместится в точку (3,0).

Таблица значений:

Ответ: График функции $y = (x - 3)^3$ — это кубическая парабола $y = x^3$, смещенная на 3 единицы вправо вдоль оси абсцисс.

3) $y = x^4 + 2$

График этой функции можно получить из графика базовой функции $y = x^4$. График $y = x^4$ — это четная функция, симметричная относительно оси OY, похожая на параболу $y=x^2$, но более "плоская" у вершины и круче на удалении от нее. Преобразование имеет вид $f(x) + c$, где $c = 2$. Это сдвиг графика вверх на 2 единицы.

Порядок построения:

1. Строим график функции $y = x^4$. Контрольные точки: (-2, 16), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 16). Вершина в точке (0,0).
2. Сдвигаем построенный график на 2 единицы вверх вдоль оси OY. Вершина (0,0) переместится в точку (0,2).

Таблица значений:

Ответ: График функции $y = x^4 + 2$ — это график функции $y = x^4$, смещенный на 2 единицы вверх вдоль оси ординат.

4) $y = (x + 1)^4$

График этой функции можно получить из графика базовой функции $y = x^4$. Преобразование имеет вид $f(x - c)$. Уравнение можно переписать как $y = (x - (-1))^4$, значит $c = -1$. Это сдвиг графика базовой функции влево на 1 единицу.

Порядок построения:

1. Строим график функции $y = x^4$.
2. Сдвигаем построенный график на 1 единицу влево вдоль оси OX. Вершина (0,0) переместится в точку (-1,0).

Таблица значений:

Ответ: График функции $y = (x + 1)^4$ — это график функции $y = x^4$, смещенный на 1 единицу влево вдоль оси абсцисс.

5) $y = \frac{1}{4}x^3$

График этой функции можно получить из графика базовой функции $y = x^3$. Преобразование имеет вид $a \cdot f(x)$, где $a = \frac{1}{4}$. Так как $0 < a < 1$, это вертикальное сжатие графика к оси OX.

Порядок построения:

1. Строим график функции $y = x^3$.
2. Ординату каждой точки графика умножаем на коэффициент $\frac{1}{4}$. График "сжимается" к оси абсцисс в 4 раза. Точка (0,0) останется на месте. Точка (1,1) перейдет в $(1, \frac{1}{4})$, точка (2,8) в (2,2).

Таблица значений:

Ответ: График функции $y = \frac{1}{4}x^3$ — это кубическая парабола $y = x^3$, сжатая к оси абсцисс в 4 раза.

6) $y = -x^4$

График этой функции можно получить из графика базовой функции $y = x^4$. Преобразование имеет вид $-f(x)$. Это симметричное отражение графика базовой функции относительно оси абсцисс (оси OX).

Порядок построения:

1. Строим график функции $y = x^4$. Ветви направлены вверх.
2. Отражаем построенный график симметрично относительно оси OX. Ветви полученного графика будут направлены вниз. Вершина (0,0) останется на месте, но станет точкой максимума.

Таблица значений:

Ответ: График функции $y = -x^4$ — это график функции $y = x^4$, отраженный симметрично относительно оси абсцисс.

6.13. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = x^8$ на промежутке:

1) $[0, 2]$;

2) $[-2; -1]$;

3) $[-1; 1]$;

4) $(-\infty; -2]$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = x^8$ на заданных промежутках, сначала проанализируем саму функцию. Это степенная функция с четным показателем степени. Её производная $f'(x) = 8x^7$. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $8x^7 = 0$, откуда $x=0$. При $x < 0$ производная $f'(x) < 0$, значит, функция убывает. При $x > 0$ производная $f'(x) > 0$, значит, функция возрастает. Таким образом, в точке $x=0$ функция имеет глобальный минимум, равный $f(0)=0$.

1) На промежутке $[0; 2]$.
На этом промежутке $x \ge 0$, следовательно, функция $f(x) = x^8$ монотонно возрастает. Наименьшее значение достигается в левой крайней точке промежутка, а наибольшее — в правой.
Наименьшее значение: $f_{наим} = f(0) = 0^8 = 0$.
Наибольшее значение: $f_{наиб} = f(2) = 2^8 = 256$.
Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее значение 256.

2) На промежутке $[-2; -1]$.
На этом промежутке $x < 0$, следовательно, функция $f(x) = x^8$ монотонно убывает. Наибольшее значение достигается в левой крайней точке промежутка, а наименьшее — в правой.
Наибольшее значение: $f_{наиб} = f(-2) = (-2)^8 = 256$.
Наименьшее значение: $f_{наим} = f(-1) = (-1)^8 = 1$.
Ответ: наименьшее значение 1, наибольшее значение 256.

3) На промежутке $[-1; 1]$.
Этот промежуток включает в себя точку минимума $x=0$. На отрезке $[-1; 0]$ функция убывает, а на отрезке $[0; 1]$ — возрастает. Следовательно, наименьшее значение на всем промежутке достигается в точке $x=0$.
Наименьшее значение: $f_{наим} = f(0) = 0^8 = 0$.
Наибольшее значение будет достигаться на одном из концов промежутка. Сравним значения функции в точках $x=-1$ и $x=1$.
$f(-1) = (-1)^8 = 1$.
$f(1) = 1^8 = 1$.
Наибольшее значение равно 1.
Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее значение 1.

4) На промежутке $(-\infty; -2]$.
На этом промежутке $x < 0$, следовательно, функция $f(x) = x^8$ монотонно убывает. Это означает, что чем больше $x$, тем меньше значение функции. Наименьшее значение будет достигаться в самой правой точке промежутка, то есть при $x=-2$.
Наименьшее значение: $f_{наим} = f(-2) = (-2)^8 = 256$.
Промежуток не ограничен слева. Чтобы определить, есть ли наибольшее значение, найдем предел функции при $x$, стремящемся к минус бесконечности.
$\lim_{x\to-\infty} f(x) = \lim_{x\to-\infty} x^8 = +\infty$.
Так как функция неограниченно возрастает при $x \to -\infty$, наибольшего значения на данном промежутке не существует.
Ответ: наименьшее значение 256, наибольшего значения не существует.

6.14. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = x^5$ на промежутке:

1) $[-3; 3];$

2) $[-2; 0];$

3) $[1; +\infty).$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = x^5$ на заданных промежутках, необходимо проанализировать ее поведение.

Функция $f(x) = x^5$ является степенной функцией с нечетным показателем степени. Такие функции являются строго возрастающими на всей своей области определения, то есть на множестве $(-\infty; +\infty)$. Это означает, что для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из области определения, если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) < f(x_2)$.

Для строго возрастающей функции на замкнутом отрезке $[a; b]$ наименьшее значение всегда достигается в левой границе отрезка (в точке $a$), а наибольшее — в правой (в точке $b$).

1) На промежутке $[-3; 3]$:

Это замкнутый отрезок. Поскольку функция $f(x) = x^5$ возрастает, ее наименьшее значение будет на левом конце промежутка, а наибольшее — на правом.

Наименьшее значение: $\min_{[-3; 3]} f(x) = f(-3) = (-3)^5 = -243$.

Наибольшее значение: $\max_{[-3; 3]} f(x) = f(3) = 3^5 = 243$.

Ответ: наименьшее значение $-243$, наибольшее значение $243$.

2) На промежутке $[-2; 0]$:

Это также замкнутый отрезок. Применяем то же свойство возрастающей функции.

Наименьшее значение: $\min_{[-2; 0]} f(x) = f(-2) = (-2)^5 = -32$.

Наибольшее значение: $\max_{[-2; 0]} f(x) = f(0) = 0^5 = 0$.

Ответ: наименьшее значение $-32$, наибольшее значение $0$.

3) На промежутке $[1; +\infty)$:

Этот промежуток является лучом, ограниченным слева.

Наименьшее значение функция примет в самой левой точке промежутка, то есть при $x=1$.

Наименьшее значение: $f(1) = 1^5 = 1$.

Поскольку промежуток неограничен справа ( $x$ стремится к $+\infty$ ), значение функции $f(x)=x^5$ также будет неограниченно расти. Таким образом, функция не достигает своего максимального значения на этом промежутке.

Ответ: наименьшее значение $1$, наибольшего значения не существует.

6.15. Определите графически количество корней уравнения:

1) $x^8 = x+1$;

2) $x^5 = 3-2x$;

3) $x^4 = 0,5x-2$.

1) Для того чтобы графически определить количество корней уравнения $x^8 = x + 1$, построим в одной системе координат графики функций $y = x^8$ и $y = x + 1$.

График функции $y = x^8$ — это степенная функция с четным показателем. Ее график — кривая, похожая на параболу, симметричная относительно оси ординат (оси $Oy$), проходящая через точки $(-1, 1)$, $(0, 0)$ и $(1, 1)$. Функция является выпуклой вниз.

График функции $y = x + 1$ — это прямая линия, проходящая через точки $(0, 1)$ и $(-1, 0)$.

Схематически изобразив эти графики, мы можем проанализировать их пересечения. При $x = -1$, значение $x^8$ равно $(-1)^8 = 1$, а значение $x+1$ равно $-1+1=0$. То есть, кривая $y=x^8$ выше прямой $y=x+1$. При $x = 0$, $x^8 = 0$, а $x+1 = 1$. Теперь прямая выше кривой. Поскольку обе функции непрерывны, между $x=-1$ и $x=0$ должна быть как минимум одна точка пересечения.

Рассмотрим положительные значения $x$. При $x = 1$, $x^8 = 1^8 = 1$, а $x+1 = 1+1=2$. Прямая все еще выше кривой. При $x = 2$, $x^8 = 2^8 = 256$, а $x+1 = 2+1=3$. Теперь кривая значительно выше прямой. Так как функции непрерывны, между $x=1$ и $x=2$ должна быть еще одна точка пересечения.

Поскольку выпуклая функция, какой является $y = x^8$, может пересекаться с прямой линией не более чем в двух точках, мы нашли все возможные пересечения. Таким образом, графики пересекаются ровно в двух точках.

Ответ: 2 корня.

2) Для определения количества корней уравнения $x^5 = 3 - 2x$ построим графики функций $y = x^5$ и $y = 3 - 2x$.

График функции $y = x^5$ — это степенная функция с нечетным показателем. График проходит через начало координат, симметричен относительно него и является монотонно возрастающим на всей числовой оси. Проходит через точки $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$.

График функции $y = 3 - 2x$ — это прямая линия, которая является монотонно убывающей. Она пересекает ось ординат в точке $(0, 3)$ и ось абсцисс в точке $(1.5, 0)$.

Монотонно возрастающая функция (как $y=x^5$) и монотонно убывающая функция (как $y=3-2x$) могут пересечься не более одного раза. Чтобы найти эту точку, можно подставить предполагаемые значения. При $x = 1$, левая часть уравнения равна $1^5 = 1$, и правая часть равна $3 - 2(1) = 1$. Значения совпали, следовательно, $x=1$ является корнем уравнения, и графики пересекаются в точке $(1, 1)$. Поскольку другого пересечения быть не может, уравнение имеет только один корень.

Ответ: 1 корень.

3) Для определения количества корней уравнения $x^4 = 0.5x - 2$ построим графики функций $y = x^4$ и $y = 0.5x - 2$.

График функции $y = x^4$ — это степенная функция с четным показателем, схожая с параболой. Она симметрична относительно оси $Oy$ и проходит через точки $(-1, 1)$, $(0, 0)$ и $(1, 1)$. Важно, что значения функции $y=x^4$ всегда неотрицательны, то есть $y \ge 0$ для любого $x$.

График функции $y = 0.5x - 2$ — это прямая линия.

Чтобы графики пересеклись, в точке пересечения их значения $y$ должны совпадать. Так как $x^4 \ge 0$, то и правая часть уравнения должна быть неотрицательной: $0.5x - 2 \ge 0$. Решим это неравенство: $0.5x \ge 2$, откуда $x \ge 4$. Это означает, что если точки пересечения и существуют, то они могут находиться только в области, где $x \ge 4$.

Сравним значения функций на границе этой области, при $x = 4$: $y = x^4 = 4^4 = 256$. $y = 0.5x - 2 = 0.5 \cdot 4 - 2 = 2 - 2 = 0$. При $x=4$ значение функции $y=x^4$ намного больше значения функции $y=0.5x-2$. При $x > 4$ функция $y=x^4$ растет гораздо быстрее, чем линейная функция $y=0.5x-2$. Это видно из сравнения их производных: $(x^4)' = 4x^3$ и $(0.5x-2)'=0.5$. Для $x \ge 4$, $4x^3 \ge 4 \cdot 4^3 = 256$, что намного больше $0.5$. Поскольку при $x=4$ кривая уже находится выше прямой и растет быстрее, графики никогда не пересекутся. Для $x < 4$ правая часть уравнения $0.5x-2$ отрицательна, в то время как левая $x^4$ неотрицательна, так что пересечений тоже нет. Следовательно, у графиков нет точек пересечения.

Ответ: 0 корней.

6.16. Определите графически количество решений системы уравнений

$\begin{cases} y = x^6, \\ 2x - y - 3 = 0. \end{cases}$

Чтобы определить графически количество решений системы уравнений, необходимо построить графики каждого уравнения в одной системе координат и найти количество точек их пересечения. Количество точек пересечения равно количеству решений системы.

Исходная система уравнений:

$$ \begin{cases} y = x^6 \\ 2x - y - 3 = 0 \end{cases} $$

Сначала преобразуем второе уравнение к стандартному виду линейной функции $y = kx + b$:

$2x - y - 3 = 0 \implies -y = -2x + 3 \implies y = 2x - 3$

Теперь задача состоит в том, чтобы найти количество точек пересечения графиков функций $y = x^6$ и $y = 2x - 3$.

Построение графика функции $y = x^6$

Это степенная функция с четным показателем (6). Основные свойства ее графика:

• График симметричен относительно оси ординат (OY), так как $(-x)^6 = x^6$.
• Функция неотрицательна, то есть $y \ge 0$ для всех $x$. График расположен в I и II координатных четвертях.
• График проходит через начало координат (0, 0), так как при $x=0, y=0$.
• График проходит через точки (1, 1) и (-1, 1).
• По сравнению с параболой $y=x^2$, этот график более "прижат" к оси OX на интервале $(-1, 1)$ и растет значительно быстрее при $|x| > 1$.

Построение графика функции $y = 2x - 3$

Это линейная функция, ее график — прямая. Для построения прямой найдем две точки, например, точки пересечения с осями координат:

• Пересечение с осью OY: при $x=0$, $y = 2(0) - 3 = -3$. Точка (0, -3).
• Пересечение с осью OX: при $y=0$, $0 = 2x - 3 \implies 2x = 3 \implies x = 1.5$. Точка (1.5, 0).

Анализ взаимного расположения графиков и определение количества решений

Построим оба графика на одной координатной плоскости.

На графике видно, что кривая $y=x^6$ (синий цвет) и прямая $y=2x-3$ (красный цвет) не имеют точек пересечения. Прямая полностью расположена ниже кривой.

Это наблюдение подтверждается сравнением значений функций в нескольких точках:

• При $x=0$: $y=x^6=0$, а $y=2x-3=-3$. Кривая выше прямой.
• При $x=1.5$: $y=2x-3=0$, а $y=x^6=(1.5)^6 \approx 11.4$. Кривая значительно выше прямой.
• Для любого $x$, значение $x^6$ оказывается больше значения $2x-3$. Минимальное значение функции $y=x^6$ равно 0, в то время как прямая $y=2x-3$ пересекает ось OY в точке -3 и не поднимается достаточно быстро, чтобы пересечь круто возрастающую кривую.

Так как графики функций не пересекаются, у системы уравнений нет решений.

Ответ: 0.

6.17. Постройте график функции:

1) $f(x)=\begin{cases}x^{4}, & \text{если } x<0, \\ \sqrt{x}, & \text{если } x \geq 0\end{cases}$

2) $f(x)=\begin{cases}x^{5}, & \text{если } x<-1, \\ -x-2, & \text{если } x \geq-1\end{cases}$

Пользуясь построенным графиком, укажите промежутки возрастания и промежутки убывания данной функции.

1)

Дана кусочно-заданная функция: $f(x) = \begin{cases} x^4, & \text{если } x < 0 \\ \sqrt{x}, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$.

Для построения графика этой функции рассмотрим две ее части.

Первая часть: при $x < 0$ график функции совпадает с графиком $y = x^4$. Это левая ветвь графика степенной функции с четным показателем, которая симметрична относительно оси OY. График проходит через точки $(-1, 1)$ и $(-2, 16)$. При приближении $x$ к $0$ слева, $y$ стремится к $0$. На всем промежутке $(-\infty, 0)$ эта часть графика убывает.

Вторая часть: при $x \ge 0$ график функции совпадает с графиком $y = \sqrt{x}$. Это стандартный график функции квадратного корня, который является ветвью параболы, симметричной относительно оси OX. График начинается в точке $(0, 0)$ и проходит через точки $(1, 1)$ и $(4, 2)$. На всем промежутке $[0, +\infty)$ эта часть графика возрастает.

Совместим обе части на одной координатной плоскости. В точке $x=0$ функция непрерывна, так как предел слева ($\lim_{x\to 0^-} x^4 = 0$) равен значению функции в этой точке ($f(0) = \sqrt{0} = 0$). График представляет собой кривую, которая сначала убывает, достигает точки минимума в $(0, 0)$, а затем возрастает.

Пользуясь построенным графиком, определяем промежутки монотонности:

• Функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$.
• Функция возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.

2)

Дана кусочно-заданная функция: $f(x) = \begin{cases} x^5, & \text{если } x < -1 \\ -x-2, & \text{если } x \ge -1 \end{cases}$.

Для построения графика этой функции рассмотрим две ее части.

Первая часть: при $x < -1$ график функции совпадает с графиком $y = x^5$. Это ветвь графика степенной функции с нечетным показателем. При $x \to -1$ слева, $y \to (-1)^5 = -1$. На всем промежутке $(-\infty, -1)$ эта часть графика возрастает (так как производная $y' = 5x^4 > 0$).

Вторая часть: при $x \ge -1$ график функции совпадает с графиком $y = -x-2$. Это линейная функция, ее график — луч. Найдем начальную точку луча: при $x=-1$, $y=-(-1)-2 = -1$. Луч начинается в точке $(-1, -1)$. Для построения возьмем еще одну точку, например, при $x=0$, $y=-2$. Прямая проходит через точки $(-1, -1)$ и $(0, -2)$. Так как угловой коэффициент равен $-1$, эта часть графика убывает на всем промежутке $[-1, +\infty)$.

Совместим обе части на одной координатной плоскости. В точке $x=-1$ функция непрерывна, так как предел слева ($\lim_{x\to -1^-} x^5 = -1$) равен значению функции в этой точке ($f(-1)=-(-1)-2 = -1$). График представляет собой кривую, которая сначала возрастает, достигает точки локального максимума в $(-1, -1)$, а затем убывает.

Пользуясь построенным графиком, определяем промежутки монотонности:

• Функция возрастает на промежутке $(-\infty, -1]$.
• Функция убывает на промежутке $[-1, +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, -1]$ и убывает на промежутке $[-1, +\infty)$.

6.18. Постройте график функции $f(x) = \begin{cases} x^3, \text{ если } x < 0, \\ -\sqrt{x}, \text{ если } x \ge 0. \end{cases}$

Пользуясь построенным графиком, укажите промежутки возрастания и промежутки убывания данной функции.

Постройте график функции $f(x) = \begin{cases} x^3, & \text{если } x < 0 \\ -\sqrt{x}, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

Для построения графика данной кусочно-заданной функции, необходимо построить график каждой из ее частей на соответствующем промежутке.

1. На интервале $x < 0$ функция имеет вид $f(x) = x^3$. Это левая часть графика кубической параболы. Вычислим значения в нескольких контрольных точках:

• при $x=-2$, $y = (-2)^3 = -8$;
• при $x=-1$, $y = (-1)^3 = -1$.

График этой части функции расположен в III координатной четверти и подходит к точке $(0,0)$ снизу слева.

2. На полуинтервале $x \ge 0$ функция имеет вид $f(x) = -\sqrt{x}$. Этот график можно получить, отразив график функции $y=\sqrt{x}$ симметрично относительно оси абсцисс (Ox). Вычислим значения в нескольких контрольных точках:

• при $x=0$, $y = -\sqrt{0} = 0$;
• при $x=1$, $y = -\sqrt{1} = -1$;
• при $x=4$, $y = -\sqrt{4} = -2$.

График этой части функции начинается в точке $(0,0)$ и продолжается в IV координатную четверть.

Объединив обе части, получаем итоговый график функции $f(x)$. Так как $\lim_{x\to 0^-} x^3 = 0$ и $f(0)=0$, функция является непрерывной в точке $x=0$. График представляет собой единую кривую, проходящую через начало координат.

Пользуясь построенным графиком, укажите промежутки возрастания и промежутки убывания данной функции

Проанализируем построенный график функции на предмет монотонности.

На промежутке $(-\infty, 0)$ мы видим, что с увеличением $x$ значения $f(x)$ также увеличиваются (график идет вверх слева направо, от $-\infty$ к $0$). Следовательно, на этом промежутке функция возрастает.

На промежутке $[0, \infty)$ мы видим, что с увеличением $x$ значения $f(x)$ уменьшаются (график идет вниз слева направо, от $0$ к $-\infty$). Следовательно, на этом промежутке функция убывает.

Точка $x=0$ является точкой перехода от возрастания к убыванию (точка локального максимума). Так как функция непрерывна в этой точке, мы можем включить ее в оба промежутка монотонности.

Таким образом:

• Функция возрастает на промежутке $(-\infty, 0]$.
• Функция убывает на промежутке $[0, \infty)$.

Ответ: График функции представляет собой кривую, которая для $x<0$ является левой ветвью кубической параболы $y=x^3$, а для $x \ge 0$ — ветвью параболы $y=-\sqrt{x}$, расположенной в нижней полуплоскости. Промежуток возрастания функции: $(-\infty, 0]$. Промежуток убывания функции: $[0, \infty)$.