Номер 6.7, страница 54 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

6.7. Решите уравнение:

1) $x^5 = 32$;

2) $x^3 = -\frac{8}{27}$;

3) $x^4 = 81$;

4) $x^4 = -16$.

1) $x^5 = 32$

Это уравнение вида $x^n = a$, где $n$ - нечетное натуральное число ($n=5$). Такое уравнение всегда имеет единственный действительный корень, который находится по формуле $x = \sqrt[n]{a}$.

В нашем случае:

$x = \sqrt[5]{32}$

Чтобы найти корень пятой степени из 32, нужно найти число, которое при возведении в пятую степень дает 32. Мы знаем, что $2^5 = 32$.

Следовательно, $x = 2$.

Ответ: $x=2$.

2) $x^3 = -\frac{8}{27}$

Это уравнение вида $x^n = a$, где $n$ - нечетное натуральное число ($n=3$). Уравнение имеет единственный действительный корень $x = \sqrt[n]{a}$.

В данном случае:

$x = \sqrt[3]{-\frac{8}{27}}$

Корень нечетной степени из отрицательного числа равен отрицательному корню из модуля этого числа. Также используем свойство корня из дроби $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$:

$x = -\sqrt[3]{\frac{8}{27}} = -\frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}}$

Так как $2^3 = 8$ и $3^3 = 27$, то $\sqrt[3]{8} = 2$ и $\sqrt[3]{27} = 3$.

Следовательно, $x = -\frac{2}{3}$.

Ответ: $x=-\frac{2}{3}$.

3) $x^4 = 81$

Это уравнение вида $x^n = a$, где $n$ - четное натуральное число ($n=4$) и $a > 0$. Такое уравнение имеет два действительных корня, которые находятся по формуле $x = \pm \sqrt[n]{a}$.

Применим формулу к нашему уравнению:

$x = \pm \sqrt[4]{81}$

Чтобы найти корень четвертой степени из 81, нужно найти положительное число, которое при возведении в четвертую степень дает 81. Мы знаем, что $3^4 = 81$.

Следовательно, корни уравнения: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Ответ: $x = \pm 3$.

4) $x^4 = -16$

Это уравнение вида $x^n = a$, где $n$ - четное натуральное число ($n=4$) и $a < 0$.

В области действительных чисел любое число, возведенное в четную степень, является неотрицательным. То есть, для любого действительного числа $x$ выполняется неравенство $x^4 \ge 0$.

Правая часть уравнения равна -16, что является отрицательным числом.

Поскольку левая часть уравнения не может быть отрицательной, а правая часть отрицательна, равенство $x^4 = -16$ невозможно ни при каких действительных значениях $x$.

Ответ: действительных корней нет.