Номер 6.8, страница 54 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

6.8. Решите уравнение:

1) $x^3 = -27;$

2) $x^5 = 0,00032;$

3) $x^6 = 64;$

4) $x^8 = -1.$

1) $x^3 = -27$

Чтобы решить данное уравнение, необходимо найти число $x$, которое при возведении в третью степень даст -27. Это эквивалентно извлечению кубического корня из -27.

$x = \sqrt[3]{-27}$

Так как показатель степени (3) нечетный, уравнение имеет один действительный корень. Известно, что $3^3 = 27$, следовательно, $(-3)^3 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -27$.

Таким образом, корень уравнения равен -3.

Ответ: -3.

2) $x^5 = 0,00032$

В данном уравнении показатель степени (5) является нечетным числом, поэтому уравнение имеет один действительный корень. Для его нахождения извлечем корень пятой степени из обеих частей уравнения.

$x = \sqrt[5]{0,00032}$

Представим десятичное число 0,00032 в виде обыкновенной дроби: $0,00032 = \frac{32}{100000}$.

Тогда $x = \sqrt[5]{\frac{32}{100000}} = \frac{\sqrt[5]{32}}{\sqrt[5]{100000}}$.

Найдем корни для числителя и знаменателя: $\sqrt[5]{32} = 2$, так как $2^5 = 32$. И $\sqrt[5]{100000} = 10$, так как $10^5 = 100000$.

Следовательно, $x = \frac{2}{10} = 0,2$.

Ответ: 0,2.

3) $x^6 = 64$

В этом уравнении показатель степени (6) — четное число, а правая часть (64) — положительное число. В таком случае уравнение имеет два действительных корня, которые являются противоположными числами.

$x = \pm \sqrt[6]{64}$

Найдем положительный корень. Нам нужно число, которое в шестой степени равно 64. Мы знаем, что $2^6 = 64$.

Значит, корнями уравнения являются $x = 2$ и $x = -2$.

Ответ: $\pm 2$.

4) $x^8 = -1$

Показатель степени в уравнении (8) является четным числом. Любое действительное число, возведенное в четную степень, всегда дает неотрицательный результат, то есть $x^8 \ge 0$ для любого действительного $x$.

Правая часть уравнения равна -1, что является отрицательным числом. Равенство $x^8 = -1$ невозможно в области действительных чисел.

Следовательно, данное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет.