Номер 6.4, страница 53 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

6.4. Функция задана формулой $f(x)=x^{21}$. Сравните:

1) $f(20)$ и $f(17)$;

2) $f(-44)$ и $f(1,5)$;

3) $f(-52)$ и $f(-45)$.

Дана функция $f(x) = x^{21}$. Поскольку показатель степени $21$ является нечетным числом, данная степенная функция является возрастающей на всей числовой прямой (для всех действительных значений $x$). Это означает, что для любых двух аргументов $x_1$ и $x_2$, если $x_1 > x_2$, то и $f(x_1) > f(x_2)$. Воспользуемся этим свойством для сравнения.

1) f(20) и f(17);

Требуется сравнить значения функции $f(x)$ при $x=20$ и $x=17$. Сравниваем аргументы: $20 > 17$. Так как функция $f(x) = x^{21}$ возрастающая, большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Следовательно, $f(20) > f(17)$.

Ответ: $f(20) > f(17)$.

2) f(-44) и f(1,5);

Требуется сравнить значения функции $f(x)$ при $x=-44$ и $x=1,5$. Сравниваем аргументы: $-44 < 1,5$. Так как функция $f(x) = x^{21}$ возрастающая, меньшему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Следовательно, $f(-44) < f(1,5)$.
Альтернативное рассуждение: $f(-44) = (-44)^{21}$ — это отрицательное число, так как отрицательное основание возводится в нечетную степень. $f(1,5) = (1,5)^{21}$ — это положительное число. Любое отрицательное число меньше любого положительного, поэтому $f(-44) < f(1,5)$.

Ответ: $f(-44) < f(1,5)$.

3) f(-52) и f(-45).

Требуется сравнить значения функции $f(x)$ при $x=-52$ и $x=-45$. Сравниваем аргументы: $-52 < -45$. Так как функция $f(x) = x^{21}$ возрастающая, меньшему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Следовательно, $f(-52) < f(-45)$.
Проверим иначе: $f(-52) = (-52)^{21} = -(52^{21})$ и $f(-45) = (-45)^{21} = -(45^{21})$. Сравним модули этих чисел: поскольку $52 > 45$, то $52^{21} > 45^{21}$. При сравнении отрицательных чисел, то число будет меньше, у которого модуль больше. Так как $|f(-52)| > |f(-45)|$, а оба числа отрицательные, то $f(-52) < f(-45)$.

Ответ: $f(-52) < f(-45)$.