Номер 3, страница 53 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

3. Изобразите схематически график функции $y = x^n$.

График степенной функции $y=x^n$ имеет различный вид в зависимости от значения показателя степени $n$. Рассмотрим основные случаи.

1. Показатель n — натуральное четное число ($n = 2, 4, 6, \dots$)

Примером такой функции является $y=x^2$. График в этом случае называют параболой.

Свойства и вид графика:

- Область определения: все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

- Область значений: неотрицательные числа, $E(y) = [0; +\infty)$.

- Четность: функция является четной, так как $f(-x) = (-x)^n = x^n = f(x)$. График симметричен относительно оси ординат (OY).

- Ключевые точки: график проходит через точки $(0, 0)$, $(1, 1)$ и $(-1, 1)$.

- Форма: график представляет собой U-образную кривую с вершиной в начале координат, ветви которой направлены вверх. Чем больше значение $n$, тем "круче" график прижимается к оси OY на интервалах $(-\infty; -1)$ и $(1; +\infty)$ и сильнее "сплющивается" к оси OX на интервале $(-1; 1)$.

Ответ: Схематически график представляет собой параболу с вершиной в начале координат, ветвями вверх, симметричную относительно оси OY.

2. Показатель n — натуральное нечетное число ($n = 1, 3, 5, \dots$)

Простейший случай — $n=1$, это прямая $y=x$. Классический пример для $n>1$ — кубическая парабола $y=x^3$.

Свойства и вид графика:

- Область определения: все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

- Область значений: все действительные числа, $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

- Четность: функция является нечетной, так как $f(-x) = (-x)^n = -x^n = -f(x)$. График симметричен относительно начала координат $(0, 0)$.

- Ключевые точки: график проходит через точки $(0, 0)$, $(1, 1)$ и $(-1, -1)$.

- Форма: для $n>1$ график — это кривая, проходящая из третьего координатного квадранта в первый, "изгибаясь" в районе начала координат. Для $n=1$ это прямая, проходящая через начало координат под углом 45 градусов.

Ответ: Схематически график (при $n>1$) — это кривая, проходящая через начало координат, расположенная в I и III квадрантах и симметричная относительно начала координат. При $n=1$ — прямая линия.

3. Показатель n = 0

Функция принимает вид $y=x^0$. По определению, любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1.

Свойства и вид графика:

- Область определения: все действительные числа, кроме $x=0$, так как выражение $0^0$ не определено. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

- Область значений: функция принимает только одно значение, $E(y) = \{1\}$.

- Форма: график — это горизонтальная прямая $y=1$ с "выколотой" точкой $(0, 1)$.

Ответ: Схематически график — это горизонтальная прямая $y=1$, на которой отсутствует точка пересечения с осью OY (выколотая точка).

4. Показатель n — целое отрицательное четное число ($n = -2, -4, \dots$)

Примером является функция $y = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$.

Свойства и вид графика:

- Область определения: все действительные числа, кроме $x=0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

- Область значений: только положительные числа, $E(y) = (0; +\infty)$.

- Четность: функция четная, график симметричен относительно оси OY.

- Асимптоты: ось OX ($y=0$) является горизонтальной асимптотой, а ось OY ($x=0$) — вертикальной.

- Форма: график состоит из двух ветвей, расположенных в I и II координатных квадрантах. Ветви бесконечно приближаются к осям координат, но не пересекают их.

Ответ: Схематически график состоит из двух ветвей в I и II квадрантах, симметричных относительно оси OY и приближающихся к осям координат (асимптотам).

5. Показатель n — целое отрицательное нечетное число ($n = -1, -3, \dots$)

Классический пример — гипербола $y = x^{-1} = \frac{1}{x}$.

Свойства и вид графика:

- Область определения: все действительные числа, кроме $x=0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

- Область значений: все действительные числа, кроме $y=0$. $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

- Четность: функция нечетная, график симметричен относительно начала координат.

- Асимптоты: ось OX ($y=0$) является горизонтальной асимптотой, а ось OY ($x=0$) — вертикальной.

- Форма: график (гипербола) состоит из двух ветвей, расположенных в I и III координатных квадрантах.

Ответ: Схематически график — это гипербола с двумя ветвями в I и III квадрантах, симметричными относительно начала координат и имеющими оси координат в качестве асимптот.