Номер 2, страница 53 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

2. Сформулируйте свойства функции $y=x^n$.

Свойства степенной функции $y=x^n$ существенно зависят от показателя степени $n$. Рассмотрим основные случаи.

В этом случае свойства функции зависят от четности или нечетности $n$.

Примером такой функции является парабола $y=x^2$.

• Область определения: вся числовая прямая, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: неотрицательные числа, $E(y) = [0; +\infty)$.
• Четность: функция является четной, так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = (-x)^{2k} = x^{2k} = y(x)$. График функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).
• Нули функции: $y=0$ при $x=0$.
• Промежутки знакопостоянства: $y>0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Промежутки монотонности: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.
• Экстремумы: точка $x=0$ является точкой минимума, $y_{min} = 0$.
• Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.

Ответ: Для четного натурального $n$ функция $y=x^n$ является четной, определена на всей числовой прямой, область значений $E(y) = [0; +\infty)$, имеет точку минимума $(0,0)$, убывает при $x \le 0$ и возрастает при $x \ge 0$.

Примером такой функции является кубическая парабола $y=x^3$.

• Область определения: вся числовая прямая, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: вся числовая прямая, $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Четность: функция является нечетной, так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = (-x)^{2k-1} = -x^{2k-1} = -y(x)$. График функции симметричен относительно начала координат.
• Нули функции: $y=0$ при $x=0$.
• Промежутки знакопостоянства: $y>0$ при $x>0$; $y<0$ при $x<0$.
• Промежутки монотонности: функция возрастает на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.
• Экстремумы: экстремумов нет.
• Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.

Ответ: Для нечетного натурального $n$ функция $y=x^n$ является нечетной, определена и возрастает на всей числовой прямой, область значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$, не имеет экстремумов.

В этом случае $y = x^{-m} = \frac{1}{x^m}$. Свойства также зависят от четности или нечетности $m$ (а значит, и $n$).

Примером такой функции является $y=x^{-2} = \frac{1}{x^2}$.

• Область определения: все действительные числа, кроме $x=0$, то есть $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Область значений: положительные числа, $E(y) = (0; +\infty)$.
• Четность: функция является четной, так как $y(-x) = (-x)^{-2k} = \frac{1}{(-x)^{2k}} = \frac{1}{x^{2k}} = y(x)$. График симметричен относительно оси OY.
• Нули функции: нулей нет.
• Промежутки знакопостоянства: $y>0$ на всей области определения.
• Промежутки монотонности: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0)$ и убывает на промежутке $(0; +\infty)$.
• Экстремумы: экстремумов нет.
• Асимптоты: вертикальная асимптота $x=0$, горизонтальная асимптота $y=0$.

Ответ: Для целого отрицательного четного $n$ функция $y=x^n$ является четной, определена для всех $x \ne 0$, область значений $E(y) = (0; +\infty)$, имеет асимптоты $x=0$ и $y=0$, возрастает на $(-\infty; 0)$ и убывает на $(0; +\infty)$.

Примером такой функции является гипербола $y=x^{-1} = \frac{1}{x}$.

• Область определения: все действительные числа, кроме $x=0$, то есть $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Область значений: все действительные числа, кроме $y=0$, то есть $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Четность: функция является нечетной, так как $y(-x) = (-x)^{-(2k-1)} = -\frac{1}{x^{2k-1}} = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат.
• Нули функции: нулей нет.
• Промежутки знакопостоянства: $y>0$ при $x>0$; $y<0$ при $x<0$.
• Промежутки монотонности: функция убывает на каждом из промежутков области определения: на $(-\infty; 0)$ и на $(0; +\infty)$.
• Экстремумы: экстремумов нет.
• Асимптоты: вертикальная асимптота $x=0$, горизонтальная асимптота $y=0$.

Ответ: Для целого отрицательного нечетного $n$ функция $y=x^n$ является нечетной, определена для всех $x \ne 0$, область значений $E(y)=(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, имеет асимптоты $x=0$ и $y=0$ и убывает на каждом из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

Функция имеет вид $y=x^0$. По определению, любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1. Выражение $0^0$ не определено.

• Область определения: все действительные числа, кроме $x=0$, $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = \{1\}$.
• Свойства: Функция является константой $y=1$ на всей своей области определения. График — прямая, параллельная оси OX, с "выколотой" точкой $(0,1)$.

Ответ: Функция $y=x^0$ определена для всех $x \neq 0$, ее значение постоянно и равно 1. Графиком является прямая $y=1$ с выколотой точкой $(0,1)$.

Для положительных значений аргумента $x$ степенная функция $y=x^n$ всегда определена. Ее свойства зависят от знака показателя $n$. Этот случай обобщает, например, функции с дробными показателями, такие как $y=\sqrt{x}=x^{1/2}$.

• Область определения: $D(y) = (0; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (0; +\infty)$.
• Нули и знакопостоянство: Функция не имеет нулей и всегда положительна ($y>0$).
• Промежутки монотонности:
  • Если $n>0$, функция возрастает на всей области определения.
  • Если $n<0$, функция убывает на всей области определения.
  • Если $n=0$, функция является константой $y=1$.
• Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения $(0; +\infty)$.
• График: Всегда проходит через точку $(1,1)$.

Ответ: Для $x>0$ и произвольного действительного $n$ функция $y=x^n$ определена, непрерывна и положительна. Она возрастает при $n>0$, убывает при $n<0$ и является константой при $n=0$. Все графики проходят через точку $(1,1)$.