Номер 5.27, страница 44 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.27. Определите графически количество решений системы уравнений:

1) $\begin{cases} y - x^2 = 0, \\ 2x + 5y = 10; \end{cases}$

2) $\begin{cases} y = x^2, \\ 3x + 2y = -6. \end{cases}$

1) Чтобы графически определить количество решений системы уравнений $\begin{cases} y - x^2 = 0, \\ 2x + 5y = 10 \end{cases}$, необходимо построить графики каждого уравнения в одной системе координат и найти количество точек их пересечения.

Преобразуем уравнения к виду функций:
Первое уравнение: $y - x^2 = 0 \Rightarrow y = x^2$. Это уравнение параболы.
Второе уравнение: $2x + 5y = 10 \Rightarrow 5y = 10 - 2x \Rightarrow y = -\frac{2}{5}x + 2$. Это уравнение прямой.

Построим график функции $y = x^2$. Это стандартная парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Некоторые точки параболы: $(-2, 4), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4)$.

Построим график функции $y = -\frac{2}{5}x + 2$. Это прямая. Для построения найдем две точки:
Если $x = 0$, то $y = -\frac{2}{5}(0) + 2 = 2$. Точка $(0, 2)$.
Если $y = 0$, то $0 = -\frac{2}{5}x + 2 \Rightarrow \frac{2}{5}x = 2 \Rightarrow x = 5$. Точка $(5, 0)$.

Теперь построим оба графика на одной координатной плоскости. Парабола $y = x^2$ проходит через начало координат, а прямая $y = -\frac{2}{5}x + 2$ пересекает ось $y$ в точке $(0, 2)$ и ось $x$ в точке $(5, 0)$. Видно, что прямая пересекает параболу в двух точках: одна точка находится в первом квадранте, а другая — во втором.

Количество точек пересечения графиков равно количеству решений системы. Так как графики пересекаются в двух точках, система имеет два решения.
Для проверки можно решить систему аналитически. Подставив $y = x^2$ во второе уравнение, получим квадратное уравнение: $2x + 5x^2 = 10$, или $5x^2 + 2x - 10 = 0$. Дискриминант этого уравнения $D = 2^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-10) = 4 + 200 = 204$. Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, что подтверждает наличие двух точек пересечения.
Ответ: 2

2) Рассмотрим систему уравнений $\begin{cases} y = x^2, \\ 3x + 2y = -6 \end{cases}$. Для определения количества решений построим графики этих уравнений.

Первое уравнение $y = x^2$ задает параболу, как и в предыдущем пункте.
Преобразуем второе уравнение: $3x + 2y = -6 \Rightarrow 2y = -3x - 6 \Rightarrow y = -\frac{3}{2}x - 3$. Это уравнение прямой.

График функции $y = x^2$ — парабола с вершиной в $(0, 0)$, ветви которой направлены вверх. Все точки этой параболы имеют неотрицательную ординату ($y \ge 0$).

Построим график прямой $y = -\frac{3}{2}x - 3$. Найдем две точки:
Если $x = 0$, то $y = -\frac{3}{2}(0) - 3 = -3$. Точка $(0, -3)$.
Если $y = 0$, то $0 = -\frac{3}{2}x - 3 \Rightarrow \frac{3}{2}x = -3 \Rightarrow x = -2$. Точка $(-2, 0)$.

Построим графики на одной координатной плоскости. Парабола $y=x^2$ расположена в верхней полуплоскости ($y \ge 0$). Прямая $y = -\frac{3}{2}x - 3$ пересекает ось $y$ в точке $(0, -3)$ и ось $x$ в точке $(-2, 0)$. Из расположения графиков видно, что парабола и прямая не имеют общих точек. Вершина параболы $(0,0)$ находится выше, чем точка пересечения прямой с осью $y$ $(0,-3)$. В области, где прямая имеет положительные значения $y$ (при $x < -2$), парабола растет гораздо быстрее и всегда находится выше прямой.

Поскольку графики не пересекаются, система уравнений не имеет действительных решений.
Проверим это аналитически. Подставим $y=x^2$ во второе уравнение: $3x + 2x^2 = -6$, или $2x^2 + 3x + 6 = 0$. Найдем дискриминант: $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 9 - 48 = -39$. Поскольку $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней, следовательно, графики не пересекаются.
Ответ: 0