Номер 5.23, страница 44 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.23. Решите неравенство $\left|\frac{x}{x^2 - 9}\right| \le \frac{x}{x^2 - 9}$

Исходное неравенство:

$$ \left| \frac{x}{x^2 - 9} \right| \le \frac{x}{x^2 - 9} $$

Введем замену. Пусть $A = \frac{x}{x^2 - 9}$. Тогда неравенство принимает вид $|A| \le A$.

По определению модуля, для любого действительного числа $A$ выполняется неравенство $|A| \ge A$. Равенство $|A| = A$ достигается тогда и только тогда, когда $A \ge 0$. Строгое неравенство $|A| < A$ невозможно. Таким образом, неравенство $|A| \le A$ может выполняться только в случае, когда $|A| = A$, что равносильно условию $A \ge 0$.

Следовательно, решение исходного неравенства сводится к решению неравенства:

$$ \frac{x}{x^2 - 9} \ge 0 $$

Для решения этого рационального неравенства используем метод интервалов. Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не должен быть равен нулю.

$x^2 - 9 \ne 0 \Rightarrow (x-3)(x+3) \ne 0 \Rightarrow x \ne 3$ и $x \ne -3$.

Далее найдем нули числителя и знаменателя.

Нуль числителя: $x = 0$.

Нули знаменателя: $x^2 - 9 = 0 \Rightarrow x = -3, x = 3$.

Нанесем эти точки на числовую прямую. Точки $x = -3$ и $x = 3$ (нули знаменателя) будут выколотыми, а точка $x = 0$ (нуль числителя) будет закрашенной, так как неравенство нестрогое ($\ge$). Эти точки разбивают числовую ось на четыре интервала. Определим знак выражения $f(x) = \frac{x}{(x-3)(x+3)}$ в каждом из них.

На интервале $(-\infty, -3)$, например при $x = -4$, получаем $f(-4) = \frac{-4}{(-4)^2 - 9} = \frac{-4}{16 - 9} = -\frac{4}{7} < 0$.

На интервале $(-3, 0)$, например при $x = -1$, получаем $f(-1) = \frac{-1}{(-1)^2 - 9} = \frac{-1}{1 - 9} = \frac{1}{8} > 0$.

На интервале $(0, 3)$, например при $x = 1$, получаем $f(1) = \frac{1}{1^2 - 9} = \frac{1}{1 - 9} = -\frac{1}{8} < 0$.

На интервале $(3, +\infty)$, например при $x = 4$, получаем $f(4) = \frac{4}{4^2 - 9} = \frac{4}{16 - 9} = \frac{4}{7} > 0$.

Нас интересуют значения $x$, при которых выражение $\frac{x}{x^2 - 9}$ неотрицательно, то есть больше или равно нулю. Это происходит на интервалах, где знак выражения положительный, а также в точке, где выражение равно нулю.

Выражение равно нулю при $x=0$. Выражение больше нуля на интервалах $(-3, 0)$ и $(3, +\infty)$.

Объединяя эти результаты, получаем решение неравенства: $x \in (-3, 0] \cup (3, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-3, 0] \cup (3, +\infty)$.