Номер 5.19, страница 43 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.19. Решите неравенство:

1) $\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1} \ge \frac{3}{x}$;

2) $\frac{12}{x^2-4} - \frac{7}{x^2-9} \le 0$.

1) $\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1} \ge \frac{3}{x}$
Первым шагом перенесем все слагаемые в левую часть неравенства:
$\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1} - \frac{3}{x} \ge 0$
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, что знаменатели не равны нулю: $x \ne 1$, $x \ne -1$ и $x \ne 0$.
Приведем дроби к общему знаменателю $x(x-1)(x+1)$:
$\frac{x(x+1) + x(x-1) - 3(x-1)(x+1)}{x(x-1)(x+1)} \ge 0$
Раскроем скобки и упростим числитель:
$\frac{x^2 + x + x^2 - x - 3(x^2 - 1)}{x(x^2 - 1)} \ge 0$
$\frac{2x^2 - 3x^2 + 3}{x(x-1)(x+1)} \ge 0$
$\frac{3 - x^2}{x(x-1)(x+1)} \ge 0$
Решим полученное неравенство методом интервалов.
Найдем нули числителя и знаменателя.
Нули числителя: $3 - x^2 = 0 \implies x^2 = 3 \implies x = \pm\sqrt{3}$. Эти точки входят в решение, так как неравенство нестрогое.
Нули знаменателя: $x=0$, $x-1=0 \implies x=1$, $x+1=0 \implies x=-1$. Эти точки не входят в решение (выколотые).
Нанесем точки на числовую ось в порядке возрастания: $-\sqrt{3}, -1, 0, 1, \sqrt{3}$.
Определим знак выражения $\frac{3-x^2}{x(x-1)(x+1)}$ в каждом из полученных интервалов:
- при $x > \sqrt{3}$ (например, $x=2$): $\frac{3-4}{2(1)(3)} = \frac{-1}{6} < 0$;
- при $1 < x < \sqrt{3}$ (например, $x=1.5$): $\frac{3-2.25}{1.5(0.5)(2.5)} > 0$;
- при $0 < x < 1$ (например, $x=0.5$): $\frac{3-0.25}{0.5(-0.5)(1.5)} < 0$;
- при $-1 < x < 0$ (например, $x=-0.5$): $\frac{3-0.25}{-0.5(-1.5)(0.5)} > 0$;
- при $-\sqrt{3} < x < -1$ (например, $x=-1.5$): $\frac{3-2.25}{-1.5(-2.5)(-0.5)} < 0$;
- при $x < -\sqrt{3}$ (например, $x=-2$): $\frac{3-4}{-2(-3)(-1)} > 0$.
Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю ($\ge 0$).
Объединяя интервалы с положительным знаком и включая нули числителя, получаем решение.
Ответ: $x \in (-\infty, -\sqrt{3}] \cup (-1, 0) \cup (1, \sqrt{3}]$

2) $\frac{12}{x^2-4} - \frac{7}{x^2-9} \le 0$
ОДЗ: $x^2-4 \ne 0$ и $x^2-9 \ne 0$, то есть $x \ne \pm 2$ и $x \ne \pm 3$.
Приведем дроби к общему знаменателю $(x^2-4)(x^2-9)$:
$\frac{12(x^2-9) - 7(x^2-4)}{(x^2-4)(x^2-9)} \le 0$
Раскроем скобки и упростим числитель:
$\frac{12x^2 - 108 - 7x^2 + 28}{(x^2-4)(x^2-9)} \le 0$
$\frac{5x^2 - 80}{(x^2-4)(x^2-9)} \le 0$
Вынесем общий множитель 5 за скобки в числителе и разделим на него обе части неравенства (знак не изменится, так как 5 > 0):
$\frac{x^2 - 16}{(x^2-4)(x^2-9)} \le 0$
Разложим числитель и знаменатель на множители:
$\frac{(x-4)(x+4)}{(x-2)(x+2)(x-3)(x+3)} \le 0$
Решим неравенство методом интервалов.
Нули числителя: $x-4=0 \implies x=4$, $x+4=0 \implies x=-4$. Эти точки входят в решение (закрашенные).
Нули знаменателя: $x=\pm 2$, $x=\pm 3$. Эти точки не входят в решение (выколотые).
Нанесем точки на числовую ось: $-4, -3, -2, 2, 3, 4$.
Определим знаки выражения в каждом интервале. Все корни имеют кратность 1, поэтому знаки будут чередоваться.
Возьмем $x > 4$ (например, $x=5$): $\frac{(+)(+)}{(+)(+)(+)(+)} > 0$.
Расставляем знаки справа налево: +, -, +, -, +, -, +.
Нам нужны интервалы, где выражение меньше или равно нулю ($\le 0$).
Это интервалы $(-4, -3)$, $(-2, 2)$ и $(3, 4)$. Включаем в решение нули числителя $x=\pm 4$.
Ответ: $x \in [-4, -3) \cup (-2, 2) \cup (3, 4]$