Номер 5.12, страница 42 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.12. Решите неравенство:

1) $\frac{x^2 + x - 20}{x^2 - 6x + 9} > 0;$

2) $\frac{x^2 + x - 20}{x^2 - 6x + 9} \ge 0;$

3) $\frac{x^2 + x - 20}{x^2 - 6x + 9} < 0;$

4) $\frac{x^2 + x - 20}{x^2 - 6x + 9} \le 0;$

5) $\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 + 2x - 8} > 0;$

6) $\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 + 2x - 8} \ge 0;$

7) $\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 + 2x - 8} < 0;$

8) $\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 + 2x - 8} \le 0.$

Для решения данных дробно-рациональных неравенств используется метод интервалов. Общий алгоритм для каждого неравенства:

1. Переносим все члены в левую часть, чтобы справа остался 0. (В данных задачах это уже сделано).
2. Находим корни числителя и корни знаменателя.
3. Отмечаем найденные корни на числовой оси. Корни знаменателя всегда "выколотые" (не входят в решение), так как на ноль делить нельзя. Корни числителя "закрашенные" (входят в решение), если неравенство нестрогое (≤ или ≥), и "выколотые", если неравенство строгое (< или >).
4. Определяем знак выражения в каждом из полученных интервалов. Для этого можно подставить любое число из интервала в исходное выражение.
5. Выбираем интервалы, которые соответствуют знаку неравенства.

Заметим, что в задачах 1-4 используются одни и те же квадратные трехчлены:

• Числитель: $ x^2 + x - 20 $. Найдем его корни: по теореме Виета $ x_1 = -5, x_2 = 4 $. Разложение: $ (x+5)(x-4) $.
• Знаменатель: $ x^2 - 6x + 9 $. Это формула квадрата разности: $ (x-3)^2 $. Корень $ x=3 $ (кратность 2).

В задачах 5-8 также используются общие выражения:

• Числитель: $ x^2 - 2x + 1 $. Это формула квадрата разности: $ (x-1)^2 $. Корень $ x=1 $ (кратность 2).
• Знаменатель: $ x^2 + 2x - 8 $. Найдем его корни: по теореме Виета $ x_1 = -4, x_2 = 2 $. Разложение: $ (x+4)(x-2) $.

Множитель в четной степени (например, $ (x-3)^2 $ или $ (x-1)^2 $) не меняет знак при переходе через свой корень. Это важно учитывать при расстановке знаков на интервалах.

1)

Решим неравенство $ \frac{x^2 + x - 20}{x^2 - 6x + 9} > 0 $.

Перепишем в виде разложения на множители: $ \frac{(x+5)(x-4)}{(x-3)^2} > 0 $.

Корни числителя: $ x = -5, x = 4 $.

Корень знаменателя: $ x = 3 $ (кратность 2).

Так как неравенство строгое, все точки на числовой оси будут выколотыми. Точка $ x=3 $ является корнем знаменателя и выкалывается в любом случае.

Наносим точки -5, 3, 4 на числовую ось и определяем знаки:

• Интервал $ (-\infty; -5) $: возьмем $ x = -6 \implies \frac{(-)(-)}{+} > 0 $ (плюс).
• Интервал $ (-5; 3) $: возьмем $ x = 0 \implies \frac{(+)(-)}{+} < 0 $ (минус).
• Интервал $ (3; 4) $: возьмем $ x = 3.5 \implies \frac{(+)(-)}{+} < 0 $ (минус). Знак не поменялся из-за четной кратности корня $ x=3 $.
• Интервал $ (4; +\infty) $: возьмем $ x = 5 \implies \frac{(+)(+)}{+} > 0 $ (плюс).

Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля (знак "+").

Ответ: $ x \in (-\infty; -5) \cup (4; +\infty) $.

2)

Решим неравенство $ \frac{x^2 + x - 20}{x^2 - 6x + 9} \ge 0 $.

Перепишем в виде $ \frac{(x+5)(x-4)}{(x-3)^2} \ge 0 $.

Это неравенство отличается от предыдущего тем, что оно нестрогое. Это значит, что корни числителя ($ x=-5, x=4 $) входят в решение. Корень знаменателя ($ x=3 $) по-прежнему не входит.

Используем ту же расстановку знаков, что и в пункте 1, но включаем в ответ точки -5 и 4.

Ответ: $ x \in (-\infty; -5] \cup [4; +\infty) $.

3)

Решим неравенство $ \frac{x^2 + x - 20}{x^2 - 6x + 9} < 0 $.

Перепишем в виде $ \frac{(x+5)(x-4)}{(x-3)^2} < 0 $.

Используя знаки из пункта 1, выбираем интервалы, где выражение меньше нуля (знак "-"). Неравенство строгое, все точки выколотые.

Это интервалы $ (-5; 3) $ и $ (3; 4) $.

Ответ: $ x \in (-5; 3) \cup (3; 4) $.

4)

Решим неравенство $ \frac{x^2 + x - 20}{x^2 - 6x + 9} \le 0 $.

Перепишем в виде $ \frac{(x+5)(x-4)}{(x-3)^2} \le 0 $.

Неравенство нестрогое, значит, корни числителя ($ x=-5, x=4 $) включаем в решение. Выбираем интервалы со знаком "минус" и добавляем к ним эти точки.

Интервалы $ (-5; 3) $ и $ (3; 4) $ объединяются с точками $ x=-5 $ и $ x=4 $. Получаем отрезок от -5 до 4, из которого исключена точка 3.

Ответ: $ x \in [-5; 3) \cup (3; 4] $.

5)

Решим неравенство $ \frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 + 2x - 8} > 0 $.

Перепишем в виде разложения на множители: $ \frac{(x-1)^2}{(x+4)(x-2)} > 0 $.

Корень числителя: $ x = 1 $ (кратность 2).

Корни знаменателя: $ x = -4, x = 2 $.

Неравенство строгое, все точки выколотые. Числитель $ (x-1)^2 $ всегда неотрицателен. Он равен нулю при $ x=1 $. Чтобы дробь была строго больше нуля, нужно, чтобы числитель не был равен нулю ($ x \neq 1 $), и знаменатель был положителен.

Решаем неравенство $ (x+4)(x-2) > 0 $. Это парабола с ветвями вверх, она положительна вне интервала между корнями.

Решение: $ x \in (-\infty; -4) \cup (2; +\infty) $. Точка $ x=1 $ не входит в эти интервалы, так что дополнительно исключать ее не нужно.

Ответ: $ x \in (-\infty; -4) \cup (2; +\infty) $.

6)

Решим неравенство $ \frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 + 2x - 8} \ge 0 $.

Перепишем в виде $ \frac{(x-1)^2}{(x+4)(x-2)} \ge 0 $.

Это неравенство выполняется в двух случаях:

1. Когда дробь равна нулю. Это происходит, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. $ (x-1)^2 = 0 \implies x = 1 $. При $ x=1 $ знаменатель не равен нулю, значит $ x=1 $ — это решение.
2. Когда дробь строго больше нуля. Как мы выяснили в пункте 5, это происходит при $ x \in (-\infty; -4) \cup (2; +\infty) $.

Объединяем эти два случая.

Ответ: $ x \in (-\infty; -4) \cup (2; +\infty) \cup \{1\} $.

7)

Решим неравенство $ \frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 + 2x - 8} < 0 $.

Перепишем в виде $ \frac{(x-1)^2}{(x+4)(x-2)} < 0 $.

Числитель $ (x-1)^2 $ всегда неотрицателен. Чтобы дробь была отрицательной, числитель должен быть строго положительным ($ (x-1)^2 > 0 \implies x \neq 1 $), а знаменатель — отрицательным.

Решаем неравенство $ (x+4)(x-2) < 0 $. Парабола с ветвями вверх отрицательна между корнями.

Решение: $ x \in (-4; 2) $. Из этого интервала мы должны исключить точку $ x=1 $.

Ответ: $ x \in (-4; 1) \cup (1; 2) $.

8)

Решим неравенство $ \frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 + 2x - 8} \le 0 $.

Перепишем в виде $ \frac{(x-1)^2}{(x+4)(x-2)} \le 0 $.

Неравенство выполняется, когда дробь меньше нуля или равна нулю.

1. Дробь меньше нуля: из пункта 7 мы знаем, что это $ x \in (-4; 1) \cup (1; 2) $.
2. Дробь равна нулю: из пункта 6 мы знаем, что это $ x=1 $.

Объединяя решение для $ < 0 $ и $ = 0 $, мы "закрываем" прокол в точке $ x=1 $. Получаем весь интервал от -4 до 2, не включая концы (так как это корни знаменателя).

Ответ: $ x \in (-4; 2) $.