Номер 5.7, страница 42 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.7. Решите неравенство:

1) $(2x + 1)(x - 3)(x^2 + 4) < 0;$

2) $(2 - x)(3x + 5)(x^2 - x + 1) > 0;$

3) $(3x^2 - 5x - 2)(2x^2 + x + 1) < 0;$

4) $(4 - x)(3x + 1)(x^4 + x^2 + 1) < 0.$

1) Рассмотрим неравенство $(2x + 1)(x - 3)(x^2 + 4) < 0$.
Множитель $(x^2 + 4)$ всегда положителен, так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, следовательно $x^2 + 4 \ge 4$.
Поскольку мы делим неравенство на строго положительное число, знак неравенства не меняется. Таким образом, исходное неравенство равносильно неравенству: $(2x + 1)(x - 3) < 0$.
Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни соответствующего уравнения $(2x + 1)(x - 3) = 0$:
$2x + 1 = 0 \Rightarrow x_1 = -1/2$
$x - 3 = 0 \Rightarrow x_2 = 3$
Графиком функции $y = (2x + 1)(x - 3)$ является парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ равен 2, что больше нуля). Следовательно, значения функции отрицательны между корнями.
Таким образом, решение неравенства есть интервал $(-0.5; 3)$.
Ответ: $(-0.5; 3)$.

2) Рассмотрим неравенство $(2 - x)(3x + 5)(x^2 - x + 1) > 0$.
Исследуем множитель $(x^2 - x + 1)$. Это квадратный трехчлен. Найдем его дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$.
Так как дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент $a = 1 > 0$, выражение $x^2 - x + 1$ всегда положительно при любом $x$.
Разделив обе части неравенства на положительное выражение $(x^2 - x + 1)$, получим равносильное неравенство: $(2 - x)(3x + 5) > 0$.
Для удобства умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $-(2 - x)(3x + 5) < 0$
$(x - 2)(3x + 5) < 0$.
Найдем корни: $x_1 = 2$, $x_2 = -5/3$.
Графиком функции $y = (x - 2)(3x + 5)$ является парабола с ветвями вверх, поэтому она принимает отрицательные значения между корнями.
Решением является интервал $(-5/3; 2)$.
Ответ: $(-5/3; 2)$.

3) Рассмотрим неравенство $(3x^2 - 5x - 2)(2x^2 + x + 1) < 0$.
Исследуем второй множитель $(2x^2 + x + 1)$. Дискриминант этого квадратного трехчлена: $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1 - 8 = -7$.
Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a = 2 > 0$, выражение $2x^2 + x + 1$ всегда положительно.
Следовательно, исходное неравенство равносильно неравенству: $3x^2 - 5x - 2 < 0$.
Найдем корни уравнения $3x^2 - 5x - 2 = 0$.
Дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.
Корни: $x_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 \pm 7}{6}$.
$x_1 = \frac{5 - 7}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$.
$x_2 = \frac{5 + 7}{6} = \frac{12}{6} = 2$.
Парабола $y = 3x^2 - 5x - 2$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому она принимает отрицательные значения на интервале между корнями.
Решением является интервал $(-1/3; 2)$.
Ответ: $(-1/3; 2)$.

4) Рассмотрим неравенство $(4 - x)(3x + 1)(x^4 + x^2 + 1) < 0$.
Исследуем множитель $(x^4 + x^2 + 1)$. Сделаем замену $y = x^2$. Так как $x^2 \ge 0$, то $y \ge 0$. Выражение примет вид $y^2 + y + 1$. Дискриминант этого трехчлена относительно $y$ равен $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3$. Так как $D < 0$ и старший коэффициент положителен, выражение $y^2 + y + 1$ всегда положительно. Значит, и $x^4 + x^2 + 1$ всегда больше нуля.
Разделив на $(x^4 + x^2 + 1)$, получим равносильное неравенство: $(4 - x)(3x + 1) < 0$.
Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства: $(x - 4)(3x + 1) > 0$.
Найдем корни: $x_1 = 4$, $x_2 = -1/3$.
Парабола $y = (x - 4)(3x + 1)$ имеет ветви вверх, поэтому она принимает положительные значения вне интервала между корнями.
Решением является объединение интервалов $x < -1/3$ и $x > 4$.
Ответ: $(-\infty; -1/3) \cup (4; +\infty)$.