Номер 5.6, страница 42 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.6. Найдите множество решений неравенства:

1) $(x^2 - 64)(x^2 - 10x + 9) \geq 0;$

2) $(x^2 + 7x)(x^2 - 7x + 6) < 0;$

3) $\frac{x^2 - x - 12}{x^2 - 36} \leq 0;$

4) $\frac{3x^2 + 2x - 1}{4x^2 - x - 3} \geq 0.$

1) Решим неравенство $(x^2 - 64)(x^2 - 10x + 9) \ge 0$.

Для решения этого неравенства воспользуемся методом интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $(x^2 - 64)(x^2 - 10x + 9) = 0$.

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

1. $x^2 - 64 = 0 \implies x^2 = 64 \implies x_1 = 8, x_2 = -8$.

2. $x^2 - 10x + 9 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 10, а их произведение равно 9. Следовательно, $x_3 = 1, x_4 = 9$.

Разложим неравенство на множители: $(x - 8)(x + 8)(x - 1)(x - 9) \ge 0$.

Отметим найденные корни на числовой прямой в порядке возрастания: -8, 1, 8, 9. Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), все точки будут включены в решение.

Эти точки разбивают числовую прямую на пять интервалов: $(-\infty; -8]$, $[-8; 1]$, $[1; 8]$, $[8; 9]$, $[9; \infty)$.

Определим знак выражения в каждом интервале:

• При $x > 9$ (например, $x=10$): $(+)(+)(+)(+) > 0$. Интервал подходит.
• При $8 < x < 9$ (например, $x=8.5$): $(+)(+)(+)(-) < 0$. Интервал не подходит.
• При $1 < x < 8$ (например, $x=2$): $(-)(+)(+)(-) > 0$. Интервал подходит.
• При $-8 < x < 1$ (например, $x=0$): $(-)(+)(-)(-) < 0$. Интервал не подходит.
• При $x < -8$ (например, $x=-10$): $(-)(-)(-)(-) > 0$. Интервал подходит.

Объединяя подходящие интервалы, получаем множество решений.

Ответ: $x \in (-\infty; -8] \cup [1; 8] \cup [9; \infty)$.

2) Решим неравенство $(x^2 + 7x)(x^2 - 7x + 6) < 0$.

Используем метод интервалов. Найдем корни уравнения $(x^2 + 7x)(x^2 - 7x + 6) = 0$.

1. $x^2 + 7x = 0 \implies x(x + 7) = 0 \implies x_1 = 0, x_2 = -7$.

2. $x^2 - 7x + 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а произведение 6. Следовательно, $x_3 = 1, x_4 = 6$.

Разложим неравенство на множители: $x(x + 7)(x - 1)(x - 6) < 0$.

Отметим корни на числовой прямой в порядке возрастания: -7, 0, 1, 6. Так как неравенство строгое (<), все точки будут выколотыми (не входят в решение).

Точки разбивают прямую на интервалы: $(-\infty; -7)$, $(-7; 0)$, $(0; 1)$, $(1; 6)$, $(6; \infty)$.

Определим знак выражения в каждом интервале:

• При $x > 6$ (например, $x=7$): $(+)(+)(+)(+) > 0$.
• При $1 < x < 6$ (например, $x=2$): $(+)(+)(+)(-) < 0$. Интервал подходит.
• При $0 < x < 1$ (например, $x=0.5$): $(+)(+)(-)(-) > 0$.
• При $-7 < x < 0$ (например, $x=-1$): $(-)(+)(-)(-) < 0$. Интервал подходит.
• При $x < -7$ (например, $x=-8$): $(-)(-)(-)(-) > 0$.

Объединяя подходящие интервалы, получаем решение.

Ответ: $x \in (-7; 0) \cup (1; 6)$.

3) Решим неравенство $\frac{x^2 - x - 12}{x^2 - 36} \le 0$.

Решаем методом интервалов. Сначала разложим числитель и знаменатель на множители.

Найдем корни числителя: $x^2 - x - 12 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 4, x_2 = -3$. Эти точки входят в решение, так как неравенство нестрогое.

Найдем корни знаменателя: $x^2 - 36 = 0 \implies x^2 = 36 \implies x_3 = 6, x_4 = -6$. Эти точки не входят в решение, так как знаменатель не может быть равен нулю.

Перепишем неравенство в виде: $\frac{(x - 4)(x + 3)}{(x - 6)(x + 6)} \le 0$.

Отметим точки на числовой прямой: -6, -3, 4, 6. Точки -3 и 4 – закрашенные, а -6 и 6 – выколотые.

Точки разбивают прямую на интервалы: $(-\infty; -6)$, $(-6; -3]$, $[-3; 4]$, $[4; 6)$, $(6; \infty)$.

Определим знаки дроби в интервалах:

• При $x > 6$ (например, $x=7$): $\frac{(+)(+)}{(+)(+)} > 0$.
• При $4 < x < 6$ (например, $x=5$): $\frac{(+)(+)}{(-)(+)} < 0$. Интервал подходит.
• При $-3 < x < 4$ (например, $x=0$): $\frac{(-)(+)}{(-)(+)} > 0$.
• При $-6 < x < -3$ (например, $x=-4$): $\frac{(-)(-)}{(-)(+)} < 0$. Интервал подходит.
• При $x < -6$ (например, $x=-7$): $\frac{(-)(-)}{(-)(-)} > 0$.

Объединяем интервалы, где выражение меньше или равно нулю.

Ответ: $x \in (-6; -3] \cup [4; 6)$.

4) Решим неравенство $\frac{3x^2 + 2x - 1}{4x^2 - x - 3} \ge 0$.

Решаем методом интервалов. Найдем корни числителя и знаменателя.

Корни числителя $3x^2 + 2x - 1 = 0$.

Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$.

$x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 \pm 4}{6}$.

$x_1 = \frac{-2 - 4}{6} = -1$, $x_2 = \frac{-2 + 4}{6} = \frac{1}{3}$. Эти точки входят в решение.

Корни знаменателя $4x^2 - x - 3 = 0$.

Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49$.

$x_{3,4} = \frac{1 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{1 \pm 7}{8}$.

$x_3 = \frac{1 - 7}{8} = -\frac{6}{8} = -\frac{3}{4}$, $x_4 = \frac{1 + 7}{8} = 1$. Эти точки не входят в решение.

Разложим неравенство на множители: $\frac{3(x - 1/3)(x + 1)}{4(x - 1)(x + 3/4)} \ge 0$, что эквивалентно $\frac{(3x - 1)(x + 1)}{(x - 1)(4x + 3)} \ge 0$.

Отметим точки на числовой прямой в порядке возрастания: -1, -3/4, 1/3, 1. Точки -1 и 1/3 – закрашенные, -3/4 и 1 – выколотые.

Определим знаки в интервалах:

• При $x > 1$ (например, $x=2$): $\frac{(+)(+)}{(+)(+)} > 0$. Интервал подходит.
• При $1/3 < x < 1$ (например, $x=0.5$): $\frac{(+)(+)}{(-)(+)} < 0$.
• При $-3/4 < x < 1/3$ (например, $x=0$): $\frac{(-)(+)}{(-)(+)} > 0$. Интервал подходит.
• При $-1 < x < -3/4$ (например, $x=-0.8$): $\frac{(-)(+)}{(-)(-)} < 0$.
• При $x < -1$ (например, $x=-2$): $\frac{(-)(-)}{(-)(-)} > 0$. Интервал подходит.

Объединяем интервалы, где выражение больше или равно нулю.

Ответ: $x \in (-\infty; -1] \cup (-\frac{3}{4}; \frac{1}{3}] \cup (1; \infty)$.