Номер 5.9, страница 42 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.9. Решите неравенство:

1) $(x - 4)^2(x^2 - 7x + 10) < 0;$

2) $(x - 4)^2(x^2 - 7x + 10) \le 0;$

3) $(x - 4)^2(x^2 - 7x + 10) > 0;$

4) $(x - 4)^2(x^2 - 7x + 10) \ge 0;$

5) $(x - 3)^2(x^2 + x - 2) < 0;$

6) $(x - 3)^2(x^2 + x - 2) \le 0;$

7) $(x - 3)^2(x^2 + x - 2) > 0;$

8) $(x - 3)^2(x^2 + x - 2) \ge 0.$

1) $(x - 4)^2(x^2 - 7x + 10) < 0$

Разложим квадратный трехчлен $x^2 - 7x + 10$ на множители. Найдем его корни, решив уравнение $x^2 - 7x + 10 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а произведение равно 10. Корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 5$.
Таким образом, $x^2 - 7x + 10 = (x - 2)(x - 5)$.
Исходное неравенство принимает вид: $(x - 4)^2(x - 2)(x - 5) < 0$.
Множитель $(x - 4)^2$ неотрицателен при всех значениях $x$. Он равен нулю при $x = 4$ и положителен при $x \ne 4$.
Рассмотрим два случая:
1. Если $x = 4$, левая часть неравенства равна 0. Неравенство $0 < 0$ неверно, значит $x = 4$ не является решением.
2. Если $x \ne 4$, то $(x - 4)^2 > 0$. Мы можем разделить обе части неравенства на $(x - 4)^2$, не меняя знака неравенства:
$(x - 2)(x - 5) < 0$.
Решим это неравенство методом интервалов. Корни: 2 и 5. Они разбивают числовую прямую на интервалы $(-\infty, 2)$, $(2, 5)$, $(5, \infty)$.
Знаки выражения $(x - 2)(x - 5)$ на интервалах: +, -, +.
Нам нужен интервал, где выражение отрицательно, то есть $(2, 5)$.
Учитывая, что $x \ne 4$, мы должны исключить эту точку из полученного интервала.
Ответ: $x \in (2, 4) \cup (4, 5)$.

2) $(x - 4)^2(x^2 - 7x + 10) \le 0$

Используя разложение из предыдущего пункта, перепишем неравенство: $(x - 4)^2(x - 2)(x - 5) \le 0$.
Это неравенство выполняется, если левая часть меньше нуля или равна нулю.
Из пункта 1) мы знаем, что $(x - 4)^2(x - 2)(x - 5) < 0$ при $x \in (2, 4) \cup (4, 5)$.
Теперь найдем, когда левая часть равна нулю: $(x - 4)^2(x - 2)(x - 5) = 0$.
Это происходит, когда один из множителей равен нулю, то есть при $x = 4$, $x = 2$ или $x = 5$.
Объединим решения: $(2, 4) \cup (4, 5) \cup \{2, 4, 5\}$.
Включая точки 2, 4 и 5 в интервал, получаем отрезок $[2, 5]$.
Ответ: $x \in [2, 5]$.

3) $(x - 4)^2(x^2 - 7x + 10) > 0$

Перепишем неравенство в виде: $(x - 4)^2(x - 2)(x - 5) > 0$.
Как и в пункте 1, при $x \ne 4$ неравенство эквивалентно $(x - 2)(x - 5) > 0$.
Решением этого неравенства является объединение интервалов $(-\infty, 2) \cup (5, \infty)$.
Точка $x = 4$ не принадлежит этому множеству, поэтому никаких дополнительных исключений делать не нужно. При $x=4$ левая часть равна 0, что не удовлетворяет строгому неравенству $0>0$.
Ответ: $x \in (-\infty, 2) \cup (5, \infty)$.

4) $(x - 4)^2(x^2 - 7x + 10) \ge 0$

Перепишем неравенство в виде: $(x - 4)^2(x - 2)(x - 5) \ge 0$.
Неравенство выполняется, если левая часть больше нуля или равна нулю.
Из пункта 3) мы знаем, что выражение больше нуля при $x \in (-\infty, 2) \cup (5, \infty)$.
Выражение равно нулю при $x = 2, 4, 5$.
Объединяя решения, получаем: $((-\infty, 2) \cup (5, \infty)) \cup \{2, 4, 5\}$.
Это дает нам множество $(-\infty, 2] \cup [5, \infty)$ и изолированную точку $x=4$.
Ответ: $x \in (-\infty, 2] \cup \{4\} \cup [5, \infty)$.

5) $(x - 3)^2(x^2 + x - 2) < 0$

Разложим на множители $x^2 + x - 2$. Решим уравнение $x^2 + x - 2 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$.
Следовательно, $x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)$.
Неравенство принимает вид: $(x - 3)^2(x + 2)(x - 1) < 0$.
Множитель $(x - 3)^2 \ge 0$ для всех $x$. Он равен 0 при $x = 3$.
Если $x = 3$, левая часть равна 0, неравенство $0 < 0$ неверно.
Если $x \ne 3$, то $(x - 3)^2 > 0$, и неравенство можно упростить до $(x + 2)(x - 1) < 0$.
Решением этого неравенства является интервал $(-2, 1)$.
Точка $x=3$ не входит в этот интервал, поэтому дополнительных действий не требуется.
Ответ: $x \in (-2, 1)$.

6) $(x - 3)^2(x^2 + x - 2) \le 0$

Перепишем неравенство: $(x - 3)^2(x + 2)(x - 1) \le 0$.
Неравенство выполняется, когда левая часть меньше или равна нулю.
Из пункта 5) известно, что выражение меньше нуля при $x \in (-2, 1)$.
Выражение равно нулю при $x = 3, -2, 1$.
Объединяя решения, получаем: $(-2, 1) \cup \{-2, 1, 3\}$.
Это дает нам отрезок $[-2, 1]$ и изолированную точку $x=3$.
Ответ: $x \in [-2, 1] \cup \{3\}$.

7) $(x - 3)^2(x^2 + x - 2) > 0$

Перепишем неравенство: $(x - 3)^2(x + 2)(x - 1) > 0$.
При $x \ne 3$, неравенство эквивалентно $(x + 2)(x - 1) > 0$.
Решением этого неравенства является $(-\infty, -2) \cup (1, \infty)$.
Нужно учесть, что $x \ne 3$. Точка $x=3$ находится в интервале $(1, \infty)$, поэтому её нужно исключить.
При $x=3$ левая часть равна 0, что не удовлетворяет строгому неравенству.
Исключая точку 3, получаем: $(-\infty, -2) \cup (1, 3) \cup (3, \infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (1, 3) \cup (3, \infty)$.

8) $(x - 3)^2(x^2 + x - 2) \ge 0$

Перепишем неравенство: $(x - 3)^2(x + 2)(x - 1) \ge 0$.
Неравенство выполняется, когда левая часть больше или равна нулю.
Из пункта 7) известно, что выражение больше нуля при $x \in (-\infty, -2) \cup (1, 3) \cup (3, \infty)$.
Выражение равно нулю при $x = -2, 1, 3$.
Объединяя решения: $((-\infty, -2) \cup (1, 3) \cup (3, \infty)) \cup \{-2, 1, 3\}$.
Включая точки -2, 1 и 3, получаем объединение лучей $(-\infty, -2]$ и $[1, \infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -2] \cup [1, \infty)$.