Номер 5.2, страница 41 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.2. Решите неравенство:

1) $ (x + 3)(x - 1)(x + 4) < 0; $

2) $ (x - 7)(x + 8)(x - 12) \ge 0; $

3) $ (1 - 3x)(x + 2)(3 - x) < 0; $

4) $ x(5 - x)(6 - x) \le 0. $

1) Для решения неравенства $(x+3)(x-1)(x+4) < 0$ применим метод интервалов. Сначала найдем корни левой части, приравняв ее к нулю: $(x+3)(x-1)(x+4) = 0$. Корнями являются $x_1 = -4$, $x_2 = -3$ и $x_3 = 1$. Нанесем эти точки на числовую прямую. Они разделят прямую на четыре интервала: $(-\infty; -4)$, $(-4; -3)$, $(-3; 1)$ и $(1; +\infty)$. Определим знак выражения на каждом интервале. Для $x > 1$ (например, $x=2$) все множители положительны, значит, произведение положительно. Поскольку все корни имеют кратность 1, знаки в интервалах чередуются: `+`, `-`, `+`, `-` справа налево. Схема знаков: $(-\infty; -4)$ — знак (-); $(-4; -3)$ — знак (+); $(-3; 1)$ — знак (-); $(1; +\infty)$ — знак (+). Нас интересуют значения $x$, при которых выражение меньше нуля, то есть интервалы со знаком «−». Так как неравенство строгое, концы интервалов не включаются в решение.
Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (-3; 1)$.

2) Решим неравенство $(x-7)(x+8)(x-12) \ge 0$ методом интервалов. Корни левой части: $x_1 = -8$, $x_2 = 7$, $x_3 = 12$. Эти точки делят числовую ось на интервалы. Для $x > 12$ (например, $x=13$) все множители положительны, произведение положительно. Знаки чередуются, так как все корни имеют нечетную кратность. Схема знаков: $(-\infty; -8]$ — знак (-); $[-8; 7]$ — знак (+); $[7; 12]$ — знак (-); $[12; +\infty)$ — знак (+). Мы ищем значения $x$, при которых выражение больше или равно нулю. Это интервалы со знаком «+». Поскольку неравенство нестрогое, сами корни включаются в решение.
Ответ: $x \in [-8; 7] \cup [12; +\infty)$.

3) Для решения неравенства $(1-3x)(x+2)(3-x) < 0$ преобразуем его, чтобы коэффициенты при $x$ были положительными. Вынесем `-1` из первой и третьей скобок: $(-1)(3x-1)(x+2)(-1)(x-3) < 0$, что эквивалентно $(3x-1)(x+2)(x-3) < 0$. Корни левой части: $x_1 = -2$, $x_2 = 1/3$, $x_3 = 3$. Наносим точки на числовую ось и определяем знаки. Для $x > 3$ все множители положительны, произведение положительно. Знаки чередуются. Схема знаков: $(-\infty; -2)$ — знак (-); $(-2; 1/3)$ — знак (+); $(1/3; 3)$ — знак (-); $(3; +\infty)$ — знак (+). Нас интересуют интервалы со знаком «−». Неравенство строгое, поэтому концы интервалов не включаются.
Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (1/3; 3)$.

4) Решим неравенство $x(5-x)(6-x) \le 0$. Преобразуем его: $x(-1)(x-5)(-1)(x-6) \le 0$, что равносильно $x(x-5)(x-6) \le 0$. Корни левой части: $x_1 = 0$, $x_2 = 5$, $x_3 = 6$. Эти точки делят числовую ось на интервалы. Для $x > 6$ все множители положительны, значит, произведение положительно. Знаки чередуются. Схема знаков: $(-\infty; 0]$ — знак (-); $[0; 5]$ — знак (+); $[5; 6]$ — знак (-); $[6; +\infty)$ — знак (+). Нам нужны интервалы со знаком «−». Так как неравенство нестрогое, корни включаются в решение.
Ответ: $x \in (-\infty; 0] \cup [5; 6]$.