Страница 41 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Всегда ли нули функции разбивают её область определения на промежутки знакопостоянства?

Нет, не всегда. Утверждение, что нули функции разбивают её область определения на промежутки знакопостоянства, справедливо только для непрерывных функций. Для таких функций, согласно теореме Больцано-Коши о промежуточном значении, смена знака возможна только при переходе через ноль.

Однако если функция имеет точки разрыва, она может изменить свой знак и в этих точках. Следовательно, для нахождения промежутков знакопостоянства произвольной функции необходимо учитывать не только её нули, но и точки разрыва.

Рассмотрим контрпример: функцию $f(x) = \frac{x-2}{x}$.
Её область определения: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
Нуль функции: $f(x) = 0$ при $x-2 = 0$, то есть $x=2$.
Точка разрыва: $x=0$.

Точки $x=0$ (точка разрыва) и $x=2$ (нуль функции) разбивают числовую ось на три промежутка: $(-\infty; 0)$, $(0; 2)$ и $(2; +\infty)$. Определим знак функции на каждом из них:
На промежутке $(-\infty; 0)$, например, при $x=-1$, имеем $f(-1) = \frac{-1-2}{-1} = 3 > 0$.
На промежутке $(0; 2)$, например, при $x=1$, имеем $f(1) = \frac{1-2}{1} = -1 < 0$.
На промежутке $(2; +\infty)$, например, при $x=3$, имеем $f(3) = \frac{3-2}{3} = \frac{1}{3} > 0$.

Как видно из примера, функция меняет знак не только в своём нуле ($x=2$), но и в точке разрыва ($x=0$). Таким образом, не только нули, но и точки разрыва разбивают область определения на промежутки знакопостоянства.

Также стоит отметить, что нуль функции не всегда означает смену знака. Например, у функции $f(x)=x^2$ есть нуль в точке $x=0$, но функция неотрицательна на всей области определения. Тем не менее, точка $x=0$ является границей двух промежутков знакопостоянства: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$, на каждом из которых функция положительна.

Ответ: Нет, не всегда. Область определения функции на промежутки знакопостоянства разбивают как нули функции, так и её точки разрыва. Утверждение верно только для непрерывных функций.

2. Каким свойством обладает функция, непрерывная на промежутке и не имеющая на нём нулей?

Функция, непрерывная на промежутке и не имеющая на нём нулей, обладает свойством знакопостоянства.

Это означает, что такая функция на всём данном промежутке принимает значения только одного знака: либо все её значения положительны, либо все отрицательны.

Это свойство является прямым следствием теоремы о промежуточном значении (теоремы Больцано — Коши). Давайте докажем это методом от противного.

Пусть функция $f(x)$ непрерывна на промежутке $I$ и для любого $x \in I$ выполняется условие $f(x) \neq 0$.

Предположим, что функция $f(x)$ не сохраняет знак на этом промежутке. Тогда на промежутке $I$ найдутся как минимум две точки, $a$ и $b$, такие что значения функции в этих точках имеют разные знаки. Например, пусть $f(a) > 0$ и $f(b) < 0$.

Рассмотрим отрезок $[a, b]$ (или $[b, a]$), который целиком лежит внутри промежутка $I$. Так как функция $f(x)$ непрерывна на всем промежутке $I$, она непрерывна и на отрезке $[a, b]$.

Согласно теореме о промежуточном значении, для любого числа $C$, лежащего между $f(a)$ и $f(b)$, существует точка $c$ на отрезке $[a, b]$ такая, что $f(c) = C$.

Поскольку $f(b) < 0 < f(a)$, мы можем выбрать $C=0$. Тогда, по теореме, должна существовать точка $c \in (a, b)$, в которой $f(c) = 0$.

Однако это противоречит исходному условию, что функция не имеет нулей на промежутке $I$. Следовательно, наше предположение о том, что функция может принимать значения разных знаков, неверно.

Значит, функция $f(x)$ сохраняет свой знак на всем промежутке $I$. То есть, либо $f(x) > 0$ для всех $x \in I$, либо $f(x) < 0$ для всех $x \in I$.

Это свойство широко используется, например, в методе интервалов для решения неравенств.

Ответ: Функция, непрерывная на промежутке и не имеющая на нём нулей, обладает свойством знакопостоянства, то есть на всём этом промежутке она принимает значения только одного знака (либо все положительные, либо все отрицательные).

3. Опишите, как решать неравенства методом интервалов.

Метод интервалов — это универсальный алгоритм для решения рациональных неравенств (вида $\frac{P(x)}{Q(x)} > 0$) и многих других. Суть метода заключается в том, чтобы найти точки, в которых функция в левой части неравенства обращается в ноль или не существует, а затем определить знак функции на промежутках, на которые эти точки делят числовую ось.

Алгоритм решения неравенств методом интервалов:

1. Привести неравенство к стандартному виду $f(x) \gtrless 0$. Для этого все члены неравенства переносятся в левую часть, а справа оставляется ноль. Если левая часть является дробью, ее приводят к виду, где числитель и знаменатель разложены на простейшие множители (например, $(x-a)$).

2. Найти нули функции и точки разрыва. Это "критические" точки, в которых функция $f(x)$ может поменять знак.
   - Нули функции: значения $x$, при которых числитель функции равен нулю.
   - Точки разрыва: значения $x$, при которых знаменатель функции равен нулю (и, следовательно, функция не определена).

3. Отметить критические точки на числовой оси.
   - Если неравенство нестрогое ($\ge$ или $\le$), нули числителя отмечаются закрашенными (сплошными) точками, так как они входят в решение.
   - Если неравенство строгое ($>$ или <), нули числителя отмечаются выколотыми (пустыми) точками.
   - Нули знаменателя (точки разрыва) всегда отмечаются выколотыми точками, так как в них функция не существует.

4. Определить знак функции $f(x)$ на каждом интервале. Для этого можно взять любую "пробную" точку из самого правого интервала, подставить ее в $f(x)$ и определить знак. Затем, двигаясь по оси справа налево, знаки на интервалах чередуются.
   Важное правило: при переходе через корень четной кратности (например, из множителя $(x-c)^2, (x-c)^4$ и т.д.) знак функции не меняется. При переходе через корень нечетной кратности знак меняется на противоположный.

5. Записать ответ. На основе знаков на интервалах и знака исходного неравенства выбрать подходящие промежутки.
   - Если $f(x) > 0$ или $f(x) \ge 0$, выбираются интервалы со знаком «$+$».
   - Если $f(x) < 0$ или $f(x) \le 0$, выбираются интервалы со знаком «$-$».
   В ответ записывается объединение этих промежутков и, если необходимо, изолированных точек. Для выколотых точек используются круглые скобки $()$, для закрашенных — квадратные $[]$.

Пример решения неравенства:

Решить неравенство $\frac{(x+3)^2(x-1)}{x-4} \le 0$.

1. Стандартный вид. Неравенство уже представлено в стандартном виде $f(x) \le 0$.

2. Критические точки.
Нули числителя: $(x+3)^2(x-1) = 0 \implies x=-3$ и $x=1$.
Нуль знаменателя: $x-4 = 0 \implies x=4$.

3. Числовая ось.
Неравенство нестрогое ($\le$), поэтому нули числителя $x=-3$ и $x=1$ — закрашенные точки. Нуль знаменателя $x=4$ — всегда выколотая точка.

4. Определение знаков.
Отмечаем точки $-3, 1, 4$ на оси. Они создают интервалы $(-\infty, -3), (-3, 1], [1, 4), (4, +\infty)$.
Определим знак на крайнем правом интервале $(4, +\infty)$, взяв пробную точку $x=10$: $\frac{(10+3)^2(10-1)}{10-4} = \frac{13^2 \cdot 9}{6} > 0$. Знак «$+$».
Двигаемся по оси справа налево:
- При переходе через $x=4$ (корень кратности 1, нечетная) знак меняется: становится «$-$». - При переходе через $x=1$ (корень кратности 1, нечетная) знак меняется: становится «$+$». - При переходе через $x=-3$ (корень кратности 2, четная) знак не меняется: остается «$+$».
Итоговая схема знаков: $(+) \xrightarrow{-3} (+) \xrightarrow{1} (-) \xrightarrow{4} (+)$

5. Запись ответа.
Нам нужны промежутки, где $f(x) \le 0$. Это интервалы со знаком «$-$», а также закрашенные точки, где $f(x)=0$.
- Интервал со знаком «$-$» это $(1, 4)$. - Точки, где $f(x)=0$, это $x=1$ и $x=-3$.
Объединяем: точка $x=1$ включается в интервал, он становится $[1, 4)$. Точка $x=-3$ является изолированным решением.

Ответ: $x \in \{-3\} \cup [1, 4)$.

5.1. Решите неравенство:

1) $(x + 1)(x - 2)(x + 5) > 0;$

2) $x(x - 3)(x + 2) < 0;$

3) $(x + 7)(x + 5)(x - 9) \le 0;$

4) $(2x + 3)(3x - 1)(x + 4) > 0;$

5) $(2x - 1)(3 - x)(x + 1) < 0;$

6) $(x - 6)(7x + 1)(2 - 9x) \ge 0.$

1) Решим неравенство $(x + 1)(x - 2)(x + 5) > 0$ методом интервалов.

Сначала найдем нули функции $f(x) = (x + 1)(x - 2)(x + 5)$, решив уравнение $(x + 1)(x - 2)(x + 5) = 0$.

Корни уравнения: $x_1 = -1$, $x_2 = 2$, $x_3 = -5$.

Расположим корни на числовой прямой в порядке возрастания: -5, -1, 2. Эти точки разбивают прямую на четыре интервала: $(-\infty; -5)$, $(-5; -1)$, $(-1; 2)$ и $(2; +\infty)$.

Определим знак выражения в каждом интервале. Для этого возьмем произвольную точку из крайнего правого интервала, например, $x = 3$.
При $x = 3$ выражение $(3 + 1)(3 - 2)(3 + 5) = 4 \cdot 1 \cdot 8 = 32$, что больше нуля. Значит, в интервале $(2; +\infty)$ выражение имеет знак "+".

Так как все корни имеют нечетную кратность (равную 1), то при переходе через каждый корень знак будет меняться. Двигаясь справа налево, расставляем знаки:
Интервал $(2; +\infty)$: +
Интервал $(-1; 2)$: -
Интервал $(-5; -1)$: +
Интервал $(-\infty; -5)$: -

По условию неравенство должно быть больше нуля ($>0$), поэтому выбираем интервалы со знаком "+". Так как неравенство строгое, концы интервалов (нули функции) в решение не входят.

Ответ: $x \in (-5; -1) \cup (2; +\infty)$.

2) Решим неравенство $x(x - 3)(x + 2) < 0$ методом интервалов.

Найдем нули функции $f(x) = x(x - 3)(x + 2)$, решив уравнение $x(x - 3)(x + 2) = 0$.

Корни уравнения: $x_1 = 0$, $x_2 = 3$, $x_3 = -2$.

Расположим корни на числовой прямой в порядке возрастания: -2, 0, 3. Точки разбивают прямую на интервалы: $(-\infty; -2)$, $(-2; 0)$, $(0; 3)$ и $(3; +\infty)$.

Определим знак выражения в крайнем правом интервале, взяв, например, $x = 4$.
При $x = 4$ выражение $4(4 - 3)(4 + 2) = 4 \cdot 1 \cdot 6 = 24 > 0$. Значит, в интервале $(3; +\infty)$ знак "+".

Все корни имеют кратность 1, поэтому знаки чередуются:
Интервал $(3; +\infty)$: +
Интервал $(0; 3)$: -
Интервал $(-2; 0)$: +
Интервал $(-\infty; -2)$: -

По условию неравенство должно быть меньше нуля ($<0$), поэтому выбираем интервалы со знаком "-". Неравенство строгое, поэтому концы интервалов в решение не входят.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (0; 3)$.

3) Решим неравенство $(x + 7)(x + 5)(x - 9) \le 0$ методом интервалов.

Найдем нули функции $f(x) = (x + 7)(x + 5)(x - 9)$, решив уравнение $(x + 7)(x + 5)(x - 9) = 0$.

Корни уравнения: $x_1 = -7$, $x_2 = -5$, $x_3 = 9$.

Расположим корни на числовой прямой: -7, -5, 9. Точки разбивают прямую на интервалы: $(-\infty; -7]$, $[-7; -5]$, $[-5; 9]$ и $[9; +\infty)$.

Определим знак в крайнем правом интервале, взяв $x = 10$.
При $x = 10$ выражение $(10 + 7)(10 + 5)(10 - 9) = 17 \cdot 15 \cdot 1 > 0$. Значит, в интервале $[9; +\infty)$ знак "+".

Знаки чередуются, так как все корни имеют кратность 1:
Интервал $[9; +\infty)$: +
Интервал $[-5; 9]$: -
Интервал $[-7; -5]$: +
Интервал $(-\infty; -7]$: -

По условию неравенство должно быть меньше или равно нулю ($\le 0$), поэтому выбираем интервалы со знаком "-". Так как неравенство нестрогое, концы интервалов (нули функции) включаются в решение.

Ответ: $x \in (-\infty; -7] \cup [-5; 9]$.

4) Решим неравенство $(2x + 3)(3x - 1)(x + 4) > 0$ методом интервалов.

Найдем нули функции, решив уравнение $(2x + 3)(3x - 1)(x + 4) = 0$.

Корни уравнения: $2x + 3 = 0 \implies x_1 = -3/2 = -1.5$;
$3x - 1 = 0 \implies x_2 = 1/3$;
$x + 4 = 0 \implies x_3 = -4$.

Расположим корни на числовой прямой: -4, -1.5, 1/3. Точки разбивают прямую на интервалы: $(-\infty; -4)$, $(-4; -1.5)$, $(-1.5; 1/3)$ и $(1/3; +\infty)$.

Определим знак в крайнем правом интервале, взяв $x = 1$.
При $x = 1$ выражение $(2 \cdot 1 + 3)(3 \cdot 1 - 1)(1 + 4) = 5 \cdot 2 \cdot 5 = 50 > 0$. Значит, в интервале $(1/3; +\infty)$ знак "+".

Знаки чередуются:
Интервал $(1/3; +\infty)$: +
Интервал $(-1.5; 1/3)$: -
Интервал $(-4; -1.5)$: +
Интервал $(-\infty; -4)$: -

Нам нужны интервалы со знаком "+", так как неравенство $>0$. Концы интервалов не включаем, так как неравенство строгое.

Ответ: $x \in (-4; -3/2) \cup (1/3; +\infty)$.

5) Решим неравенство $(2x - 1)(3 - x)(x + 1) < 0$.

Для удобства приведем неравенство к стандартному виду, чтобы коэффициент при $x$ в каждом множителе был положительным. Вынесем "-1" из скобки $(3-x)$: $(3-x) = -(x-3)$.

Неравенство принимает вид: $(2x - 1)(-(x - 3))(x + 1) < 0$.

$- (2x - 1)(x - 3)(x + 1) < 0$.

Умножим обе части неравенства на -1, изменив при этом знак неравенства на противоположный:

$(2x - 1)(x - 3)(x + 1) > 0$.

Теперь решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни: $x_1 = 1/2$, $x_2 = 3$, $x_3 = -1$.

Расположим корни на числовой прямой: -1, 1/2, 3. Они разбивают прямую на интервалы: $(-\infty; -1)$, $(-1; 1/2)$, $(1/2; 3)$ и $(3; +\infty)$.

Определим знак в крайнем правом интервале (для преобразованного неравенства), взяв $x=4$:
$(2 \cdot 4 - 1)(4 - 3)(4 + 1) = 7 \cdot 1 \cdot 5 = 35 > 0$. Знак "+".

Знаки чередуются:
Интервал $(3; +\infty)$: +
Интервал $(1/2; 3)$: -
Интервал $(-1; 1/2)$: +
Интервал $(-\infty; -1)$: -

Для преобразованного неравенства нам нужны интервалы со знаком "+". Неравенство строгое, концы интервалов не включаем.

Ответ: $x \in (-1; 1/2) \cup (3; +\infty)$.

6) Решим неравенство $(x - 6)(7x + 1)(2 - 9x) \ge 0$.

Приведем неравенство к стандартному виду. Вынесем "-1" из скобки $(2 - 9x)$: $(2 - 9x) = -(9x - 2)$.

Неравенство принимает вид: $(x - 6)(7x + 1)(-(9x - 2)) \ge 0$.

$- (x - 6)(7x + 1)(9x - 2) \ge 0$.

Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:

$(x - 6)(7x + 1)(9x - 2) \le 0$.

Решим полученное неравенство методом интервалов. Найдем корни: $x_1 = 6$, $x_2 = -1/7$, $x_3 = 2/9$.

Расположим корни на числовой прямой: -1/7, 2/9, 6. Они разбивают прямую на интервалы: $(-\infty; -1/7]$, $[-1/7; 2/9]$, $[2/9; 6]$ и $[6; +\infty)$.

Определим знак в крайнем правом интервале (для преобразованного неравенства), взяв $x=7$:
$(7 - 6)(7 \cdot 7 + 1)(9 \cdot 7 - 2) = 1 \cdot 50 \cdot 61 > 0$. Знак "+".

Знаки чередуются:
Интервал $[6; +\infty)$: +
Интервал $[2/9; 6]$: -
Интервал $[-1/7; 2/9]$: +
Интервал $(-\infty; -1/7]$: -

Для преобразованного неравенства нам нужны интервалы со знаком "-". Так как неравенство нестрогое ($\le$), концы интервалов включаем в решение.

Ответ: $x \in (-\infty; -1/7] \cup [2/9; 6]$.

5.2. Решите неравенство:

1) $ (x + 3)(x - 1)(x + 4) < 0; $

2) $ (x - 7)(x + 8)(x - 12) \ge 0; $

3) $ (1 - 3x)(x + 2)(3 - x) < 0; $

4) $ x(5 - x)(6 - x) \le 0. $

1) Для решения неравенства $(x+3)(x-1)(x+4) < 0$ применим метод интервалов. Сначала найдем корни левой части, приравняв ее к нулю: $(x+3)(x-1)(x+4) = 0$. Корнями являются $x_1 = -4$, $x_2 = -3$ и $x_3 = 1$. Нанесем эти точки на числовую прямую. Они разделят прямую на четыре интервала: $(-\infty; -4)$, $(-4; -3)$, $(-3; 1)$ и $(1; +\infty)$. Определим знак выражения на каждом интервале. Для $x > 1$ (например, $x=2$) все множители положительны, значит, произведение положительно. Поскольку все корни имеют кратность 1, знаки в интервалах чередуются: `+`, `-`, `+`, `-` справа налево. Схема знаков: $(-\infty; -4)$ — знак (-); $(-4; -3)$ — знак (+); $(-3; 1)$ — знак (-); $(1; +\infty)$ — знак (+). Нас интересуют значения $x$, при которых выражение меньше нуля, то есть интервалы со знаком «−». Так как неравенство строгое, концы интервалов не включаются в решение.
Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (-3; 1)$.

2) Решим неравенство $(x-7)(x+8)(x-12) \ge 0$ методом интервалов. Корни левой части: $x_1 = -8$, $x_2 = 7$, $x_3 = 12$. Эти точки делят числовую ось на интервалы. Для $x > 12$ (например, $x=13$) все множители положительны, произведение положительно. Знаки чередуются, так как все корни имеют нечетную кратность. Схема знаков: $(-\infty; -8]$ — знак (-); $[-8; 7]$ — знак (+); $[7; 12]$ — знак (-); $[12; +\infty)$ — знак (+). Мы ищем значения $x$, при которых выражение больше или равно нулю. Это интервалы со знаком «+». Поскольку неравенство нестрогое, сами корни включаются в решение.
Ответ: $x \in [-8; 7] \cup [12; +\infty)$.

3) Для решения неравенства $(1-3x)(x+2)(3-x) < 0$ преобразуем его, чтобы коэффициенты при $x$ были положительными. Вынесем `-1` из первой и третьей скобок: $(-1)(3x-1)(x+2)(-1)(x-3) < 0$, что эквивалентно $(3x-1)(x+2)(x-3) < 0$. Корни левой части: $x_1 = -2$, $x_2 = 1/3$, $x_3 = 3$. Наносим точки на числовую ось и определяем знаки. Для $x > 3$ все множители положительны, произведение положительно. Знаки чередуются. Схема знаков: $(-\infty; -2)$ — знак (-); $(-2; 1/3)$ — знак (+); $(1/3; 3)$ — знак (-); $(3; +\infty)$ — знак (+). Нас интересуют интервалы со знаком «−». Неравенство строгое, поэтому концы интервалов не включаются.
Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (1/3; 3)$.

4) Решим неравенство $x(5-x)(6-x) \le 0$. Преобразуем его: $x(-1)(x-5)(-1)(x-6) \le 0$, что равносильно $x(x-5)(x-6) \le 0$. Корни левой части: $x_1 = 0$, $x_2 = 5$, $x_3 = 6$. Эти точки делят числовую ось на интервалы. Для $x > 6$ все множители положительны, значит, произведение положительно. Знаки чередуются. Схема знаков: $(-\infty; 0]$ — знак (-); $[0; 5]$ — знак (+); $[5; 6]$ — знак (-); $[6; +\infty)$ — знак (+). Нам нужны интервалы со знаком «−». Так как неравенство нестрогое, корни включаются в решение.
Ответ: $x \in (-\infty; 0] \cup [5; 6]$.

5.3. Найдите множество решений неравенства:

1) $\frac{x - 8}{x + 7} < 0;$

2) $\frac{x + 9}{x - 11} > 0;$

3) $\frac{x + 5,2}{x - 1,4} \le 0;$

4) $\frac{5 - x}{x - 6} \ge 0;$

5) $\frac{(x + 15)(x - 2)}{x - 15} \ge 0;$

6) $\frac{x - 3,8}{(x + 5)(x - 16)} \le 0.$

1) Решим неравенство $\frac{x-8}{x+7} < 0$ методом интервалов.

Найдём нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $x-8=0 \Rightarrow x=8$.

Нуль знаменателя: $x+7=0 \Rightarrow x=-7$.

Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq -7$. Неравенство строгое, поэтому корень числителя $x=8$ также не является решением. На числовой прямой отметим выколотые точки $-7$ и $8$. Они разбивают прямую на три интервала. Определим знак выражения в каждом из них:

– на интервале $(-\infty; -7)$ (например, при $x=-10$): $\frac{-10-8}{-10+7} = \frac{-18}{-3} > 0$ (знак "+");

– на интервале $(-7; 8)$ (например, при $x=0$): $\frac{0-8}{0+7} = -\frac{8}{7} < 0$ (знак "-");

– на интервале $(8; +\infty)$ (например, при $x=10$): $\frac{10-8}{10+7} = \frac{2}{17} > 0$ (знак "+").

Так как неравенство имеет вид $< 0$, искомое множество решений — это интервал, где выражение отрицательно.

Ответ: $x \in (-7; 8)$.

2) Решим неравенство $\frac{x+9}{x-11} > 0$ методом интервалов.

Найдём нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $x+9=0 \Rightarrow x=-9$.

Нуль знаменателя: $x-11=0 \Rightarrow x=11$.

Знаменатель не может быть равен нулю ($x \neq 11$). Неравенство строгое, поэтому оба корня, $x=-9$ и $x=11$, являются выколотыми точками. Отметим их на числовой прямой и определим знаки выражения на получившихся интервалах:

– на интервале $(-\infty; -9)$ (например, при $x=-10$): $\frac{-10+9}{-10-11} = \frac{-1}{-21} > 0$ (знак "+");

– на интервале $(-9; 11)$ (например, при $x=0$): $\frac{0+9}{0-11} = -\frac{9}{11} < 0$ (знак "-");

– на интервале $(11; +\infty)$ (например, при $x=12$): $\frac{12+9}{12-11} = 21 > 0$ (знак "+").

Так как неравенство имеет вид $> 0$, искомое множество решений — это объединение интервалов, где выражение положительно.

Ответ: $x \in (-\infty; -9) \cup (11; +\infty)$.

3) Решим неравенство $\frac{x+5,2}{x-1,4} \leq 0$ методом интервалов.

Найдём нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $x+5,2=0 \Rightarrow x=-5,2$.

Нуль знаменателя: $x-1,4=0 \Rightarrow x=1,4$.

Знаменатель не может быть равен нулю ($x \neq 1,4$), поэтому точка $x=1,4$ — выколотая. Неравенство нестрогое, поэтому корень числителя $x=-5,2$ является решением (закрашенная точка). Отметим точки на числовой прямой и определим знаки выражения на интервалах:

– на интервале $(-\infty; -5,2]$ (например, при $x=-6$): $\frac{-6+5,2}{-6-1,4} > 0$ (знак "+");

– на интервале $[-5,2; 1,4)$ (например, при $x=0$): $\frac{0+5,2}{0-1,4} < 0$ (знак "-");

– на интервале $(1,4; +\infty)$ (например, при $x=2$): $\frac{2+5,2}{2-1,4} > 0$ (знак "+").

Так как неравенство имеет вид $\leq 0$, искомое множество решений — это интервал, где выражение отрицательно, включая корень числителя.

Ответ: $x \in [-5,2; 1,4)$.

4) Решим неравенство $\frac{5-x}{x-6} \geq 0$.

Для удобства приведем неравенство к стандартному виду, умножив числитель и знаменатель на $-1$. Знак неравенства при этом не изменится: $\frac{-(5-x)}{-(x-6)} \geq 0 \Rightarrow \frac{x-5}{6-x} \geq 0$. Умножим обе части на $-1$ и сменим знак: $\frac{x-5}{x-6} \leq 0$.

Найдём нули числителя и знаменателя: $x-5=0 \Rightarrow x=5$; $x-6=0 \Rightarrow x=6$.

Знаменатель не равен нулю ($x \neq 6$), точка выколотая. Неравенство нестрогое, корень числителя $x=5$ входит в решение. Отметим точки на числовой прямой и определим знаки выражения $\frac{x-5}{x-6}$:

– на интервале $(-\infty; 5]$ (например, при $x=0$): $\frac{0-5}{0-6} > 0$ (знак "+");

– на интервале $[5; 6)$ (например, при $x=5,5$): $\frac{5,5-5}{5,5-6} < 0$ (знак "-");

– на интервале $(6; +\infty)$ (например, при $x=7$): $\frac{7-5}{7-6} > 0$ (знак "+").

Решением неравенства $\frac{x-5}{x-6} \leq 0$ является интервал со знаком "-".

Ответ: $x \in [5; 6)$.

5) Решим неравенство $\frac{(x+15)(x-2)}{x-15} \geq 0$ методом интервалов.

Найдём нули числителя и знаменателя:

Нули числителя: $x+15=0 \Rightarrow x=-15$; $x-2=0 \Rightarrow x=2$.

Нуль знаменателя: $x-15=0 \Rightarrow x=15$.

Знаменатель не равен нулю ($x \neq 15$), точка выколотая. Неравенство нестрогое, корни числителя $x=-15$ и $x=2$ входят в решение. Отметим точки $-15$, $2$, $15$ на числовой прямой и определим знаки выражения:

– на интервале $(-\infty; -15]$ (например, при $x=-20$): $\frac{(-)(-)_ {(-)} < 0$ (знак "-");

– на интервале $[-15; 2]$ (например, при $x=0$): $\frac{(+)(-)}{(-)} > 0$ (знак "+");

– на интервале $[2; 15)$ (например, при $x=10$): $\frac{(+)(+)}{(-)} < 0$ (знак "-");

– на интервале $(15; +\infty)$ (например, при $x=20$): $\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$ (знак "+").

Так как неравенство имеет вид $\geq 0$, искомое множество решений — это объединение интервалов со знаком "+".

Ответ: $x \in [-15; 2] \cup (15; +\infty)$.

6) Решим неравенство $\frac{x-3,8}{(x+5)(x-16)} \leq 0$ методом интервалов.

Найдём нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $x-3,8=0 \Rightarrow x=3,8$.

Нули знаменателя: $x+5=0 \Rightarrow x=-5$; $x-16=0 \Rightarrow x=16$.

Знаменатель не равен нулю ($x \neq -5, x \neq 16$), точки выколотые. Неравенство нестрогое, корень числителя $x=3,8$ входит в решение. Отметим точки $-5$, $3,8$, $16$ на числовой прямой и определим знаки выражения:

– на интервале $(-\infty; -5)$ (например, при $x=-10$): $\frac{(-)}{(-)(-)} < 0$ (знак "-");

– на интервале $(-5; 3,8]$ (например, при $x=0$): $\frac{(-)}{(+)(-)} > 0$ (знак "+");

– на интервале $[3,8; 16)$ (например, при $x=10$): $\frac{(+)}{(+)(-)} < 0$ (знак "-");

– на интервале $(16; +\infty)$ (например, при $x=20$): $\frac{(+)}{(+)(+)} > 0$ (знак "+").

Так как неравенство имеет вид $\leq 0$, искомое множество решений — это объединение интервалов со знаком "-".

Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup [3,8; 16)$.

5.4. Найдите множество решений неравенства:

1) $\frac{x+3}{x-1} > 0;$

2) $\frac{x-4}{x} \ge 0;$

3) $\frac{(x-2)(x+1)}{x-4} < 0;$

4) $\frac{(x+1.2)(x-1.6)}{x-1.4} \le 0;$

5) $\frac{(3x-2)(4-x)}{(x+3)(x-1)} > 0;$

6) $\frac{(x+1)(3-x)}{(3x-2)(4-3x)} \ge 0.$

1)

Дано неравенство: $ \frac{x+3}{x-1} > 0 $.

Для решения этого неравенства используем метод интервалов. Сначала найдем точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль. Эти точки разделят числовую прямую на интервалы, в каждом из которых знак выражения постоянен.

1. Найдем нули числителя: $x + 3 = 0 \implies x = -3$.

2. Найдем нули знаменателя (точки, где выражение не определено): $x - 1 = 0 \implies x = 1$.

3. Отметим эти точки на числовой прямой. Так как неравенство строгое (знак >), обе точки будут "выколотыми", то есть не войдут в решение. Точки -3 и 1 делят прямую на три интервала: $(-\infty; -3)$, $(-3; 1)$ и $(1; +\infty)$.

4. Определим знак выражения в каждом интервале.

• Для интервала $(1; +\infty)$ возьмем пробную точку $x=2$. Подставляем в выражение: $\frac{2+3}{2-1} = \frac{5}{1} = 5 > 0$. Знак "+".
• Для интервала $(-3; 1)$ возьмем пробную точку $x=0$. Подставляем: $\frac{0+3}{0-1} = -3 < 0$. Знак "-".
• Для интервала $(-\infty; -3)$ возьмем пробную точку $x=-4$. Подставляем: $\frac{-4+3}{-4-1} = \frac{-1}{-5} = \frac{1}{5} > 0$. Знак "+".

5. Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля (знак "+"). Это интервалы $(-\infty; -3)$ и $(1; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (1; +\infty)$

2)

Дано неравенство: $ \frac{x-4}{x} \ge 0 $.

1. Найдем нули числителя: $x - 4 = 0 \implies x = 4$.

2. Найдем нули знаменателя: $x = 0$.

3. Отметим точки на числовой прямой. Так как неравенство нестрогое (знак $\ge$), нуль числителя ($x=4$) будет "закрашенной" точкой (включается в решение). Нуль знаменателя ($x=0$) всегда "выколотый", так как на ноль делить нельзя. Точки 0 и 4 делят прямую на интервалы: $(-\infty; 0)$, $(0; 4]$ и $[4; +\infty)$.

4. Определим знак выражения в каждом интервале.

• Для интервала $[4; +\infty)$ возьмем $x=5$: $\frac{5-4}{5} = \frac{1}{5} > 0$. Знак "+".
• Для интервала $(0; 4]$ возьмем $x=1$: $\frac{1-4}{1} = -3 < 0$. Знак "-".
• Для интервала $(-\infty; 0)$ возьмем $x=-1$: $\frac{-1-4}{-1} = \frac{-5}{-1} = 5 > 0$. Знак "+".

5. Нас интересуют интервалы, где выражение больше или равно нулю (знак "+"). Это $(-\infty; 0)$ и $[4; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup [4; +\infty)$

3)

Дано неравенство: $ \frac{(x-2)(x+1)}{x-4} < 0 $.

1. Найдем нули числителя: $(x-2)(x+1) = 0 \implies x_1 = 2, x_2 = -1$.

2. Найдем нули знаменателя: $x-4 = 0 \implies x_3 = 4$.

3. Отметим точки на числовой прямой. Неравенство строгое (<), поэтому все точки (-1, 2, 4) будут "выколотыми". Они делят прямую на интервалы: $(-\infty; -1)$, $(-1; 2)$, $(2; 4)$ и $(4; +\infty)$.

4. Определим знак выражения в каждом интервале.

• Для интервала $(4; +\infty)$ возьмем $x=5$: $\frac{(5-2)(5+1)}{5-4} = \frac{3 \cdot 6}{1} > 0$. Знак "+".
• Для интервала $(2; 4)$ возьмем $x=3$: $\frac{(3-2)(3+1)}{3-4} = \frac{1 \cdot 4}{-1} < 0$. Знак "-".
• Для интервала $(-1; 2)$ возьмем $x=0$: $\frac{(0-2)(0+1)}{0-4} = \frac{-2 \cdot 1}{-4} > 0$. Знак "+".
• Для интервала $(-\infty; -1)$ возьмем $x=-2$: $\frac{(-2-2)(-2+1)}{-2-4} = \frac{(-4) \cdot (-1)}{-6} < 0$. Знак "-".

5. Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля (знак "-"). Это $(-\infty; -1)$ и $(2; 4)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (2; 4)$

4)

Дано неравенство: $ \frac{(x+1,2)(x-1,6)}{x-1,4} \le 0 $.

1. Найдем нули числителя: $(x+1,2)(x-1,6)=0 \implies x_1 = -1,2, x_2 = 1,6$.

2. Найдем нули знаменателя: $x-1,4 = 0 \implies x_3 = 1,4$.

3. Отметим точки на числовой прямой. Неравенство нестрогое ($\le$), поэтому нули числителя ($x=-1,2$ и $x=1,6$) будут "закрашенными". Нуль знаменателя ($x=1,4$) всегда "выколотый". Точки, в порядке возрастания: -1,2; 1,4; 1,6. Они делят прямую на интервалы: $(-\infty; -1,2]$, $[-1,2; 1,4)$, $(1,4; 1,6]$ и $[1,6; +\infty)$.

4. Определим знак выражения в каждом интервале.

• Для интервала $[1,6; +\infty)$ возьмем $x=2$: $\frac{(2+1,2)(2-1,6)}{2-1,4} = \frac{3,2 \cdot 0,4}{0,6} > 0$. Знак "+".
• Для интервала $(1,4; 1,6]$ возьмем $x=1,5$: $\frac{(1,5+1,2)(1,5-1,6)}{1,5-1,4} = \frac{2,7 \cdot (-0,1)}{0,1} < 0$. Знак "-".
• Для интервала $[-1,2; 1,4)$ возьмем $x=0$: $\frac{(0+1,2)(0-1,6)}{0-1,4} = \frac{1,2 \cdot (-1,6)}{-1,4} > 0$. Знак "+".
• Для интервала $(-\infty; -1,2]$ возьмем $x=-2$: $\frac{(-2+1,2)(-2-1,6)}{-2-1,4} = \frac{(-0,8) \cdot (-3,6)}{-3,4} < 0$. Знак "-".

5. Нас интересуют интервалы, где выражение меньше или равно нулю (знак "-"). Это $(-\infty; -1,2]$ и $(1,4; 1,6]$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1,2] \cup (1,4; 1,6]$

5)

Дано неравенство: $ \frac{(3x-2)(4-x)}{(x+3)(x-1)} > 0 $.

1. Преобразуем неравенство, чтобы коэффициенты при $x$ были положительными. Множитель $(4-x)$ равен $-(x-4)$.

$ \frac{(3x-2)(-(x-4))}{(x+3)(x-1)} > 0 $

Умножим обе части неравенства на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:

$ \frac{(3x-2)(x-4)}{(x+3)(x-1)} < 0 $

2. Найдем нули числителя: $(3x-2)(x-4)=0 \implies x_1 = 2/3, x_2 = 4$.

3. Найдем нули знаменателя: $(x+3)(x-1)=0 \implies x_3 = -3, x_4 = 1$.

4. Отметим точки на числовой прямой. Неравенство строгое (<), поэтому все точки (-3, 2/3, 1, 4) будут "выколотыми". Они делят прямую на интервалы: $(-\infty; -3)$, $(-3; 2/3)$, $(2/3; 1)$, $(1; 4)$ и $(4; +\infty)$.

5. Определим знак выражения $ \frac{(3x-2)(x-4)}{(x+3)(x-1)} $ в каждом интервале.

• Для интервала $(4; +\infty)$ возьмем $x=5$: $\frac{(15-2)(5-4)}{(5+3)(5-1)} = \frac{13 \cdot 1}{8 \cdot 4} > 0$. Знак "+".
• Для интервала $(1; 4)$ возьмем $x=2$: $\frac{(6-2)(2-4)}{(2+3)(2-1)} = \frac{4 \cdot (-2)}{5 \cdot 1} < 0$. Знак "-".
• Для интервала $(2/3; 1)$ возьмем $x=0,8$: $\frac{(2,4-2)(0,8-4)}{(0,8+3)(0,8-1)} = \frac{0,4 \cdot (-3,2)}{3,8 \cdot (-0,2)} > 0$. Знак "+".
• Для интервала $(-3; 2/3)$ возьмем $x=0$: $\frac{(-2)(-4)}{3(-1)} < 0$. Знак "-".
• Для интервала $(-\infty; -3)$ возьмем $x=-4$: $\frac{(-12-2)(-4-4)}{(-4+3)(-4-1)} = \frac{(-14)(-8)}{(-1)(-5)} > 0$. Знак "+".

6. Нас интересуют интервалы, где преобразованное выражение меньше нуля (знак "-"). Это $(-3; 2/3)$ и $(1; 4)$.

Ответ: $x \in (-3; 2/3) \cup (1; 4)$

6)

Дано неравенство: $ \frac{(x+1)(3-x)}{(3x-2)(4-3x)} \ge 0 $.

1. Преобразуем множители с отрицательными коэффициентами при $x$: $(3-x) = -(x-3)$ и $(4-3x) = -(3x-4)$.

$ \frac{(x+1)(-(x-3))}{(3x-2)(-(3x-4))} \ge 0 $

Минусы в числителе и знаменателе сокращаются:

$ \frac{(x+1)(x-3)}{(3x-2)(3x-4)} \ge 0 $

2. Найдем нули числителя: $(x+1)(x-3)=0 \implies x_1 = -1, x_2 = 3$.

3. Найдем нули знаменателя: $(3x-2)(3x-4)=0 \implies x_3 = 2/3, x_4 = 4/3$.

4. Отметим точки на числовой прямой. Неравенство нестрогое ($\ge$), поэтому нули числителя ($x=-1$ и $x=3$) будут "закрашенными". Нули знаменателя ($x=2/3$ и $x=4/3$) всегда "выколотые". Точки в порядке возрастания: -1, 2/3, 4/3, 3.

5. Определим знак выражения $ \frac{(x+1)(x-3)}{(3x-2)(3x-4)} $ в каждом интервале.

• Для интервала $[3; +\infty)$ возьмем $x=4$: $\frac{(4+1)(4-3)}{(12-2)(12-4)} = \frac{5 \cdot 1}{10 \cdot 8} > 0$. Знак "+".
• Для интервала $(4/3; 3]$ возьмем $x=2$: $\frac{(2+1)(2-3)}{(6-2)(6-4)} = \frac{3 \cdot (-1)}{4 \cdot 2} < 0$. Знак "-".
• Для интервала $(2/3; 4/3)$ возьмем $x=1$: $\frac{(1+1)(1-3)}{(3-2)(3-4)} = \frac{2 \cdot (-2)}{1 \cdot (-1)} > 0$. Знак "+".
• Для интервала $[-1; 2/3)$ возьмем $x=0$: $\frac{(0+1)(0-3)}{(0-2)(0-4)} = \frac{1 \cdot (-3)}{(-2) \cdot (-4)} < 0$. Знак "-".
• Для интервала $(-\infty; -1]$ возьмем $x=-2$: $\frac{(-2+1)(-2-3)}{(-6-2)(-6-4)} = \frac{(-1)(-5)}{(-8)(-10)} > 0$. Знак "+".

6. Нас интересуют интервалы, где выражение больше или равно нулю (знак "+"). Это $(-\infty; -1]$, $(2/3; 4/3)$ и $[3; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1] \cup (2/3; 4/3) \cup [3; +\infty)$

5.5. Решите неравенство:

1) $(x + 2)(x^2 - 1) > 0;$

2) $(x^2 - 4x + 3)(x^2 + 3x + 2) \ge 0;$

3) $4x^3 - 25x < 0;$

4) $\frac{x^2 - 4}{x^2 - 9} > 0;$

5) $\frac{x^2 - 3x}{x^2 - 8x + 7} \le 0;$

6) $\frac{2x^2 - 5x + 2}{x^2 - 3x - 4} \ge 0.$

1) $(x + 2)(x^2 - 1) > 0$

Разложим на множители выражение в левой части неравенства, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x + 2)(x - 1)(x + 1) > 0$

Найдем корни соответствующего уравнения $(x + 2)(x - 1)(x + 1) = 0$. Корни: $x_1 = -2$, $x_2 = -1$, $x_3 = 1$.

Отметим эти корни на числовой прямой. Они разбивают прямую на четыре интервала. Определим знак выражения в каждом интервале.

- При $x > 1$ (например, $x=2$): $(2+2)(2-1)(2+1) = 4 \cdot 1 \cdot 3 = 12 > 0$. Знак "+".
- При $-1 < x < 1$ (например, $x=0$): $(0+2)(0-1)(0+1) = 2 \cdot (-1) \cdot 1 = -2 < 0$. Знак "-".
- При $-2 < x < -1$ (например, $x=-1.5$): $(-1.5+2)(-1.5-1)(-1.5+1) = 0.5 \cdot (-2.5) \cdot (-0.5) > 0$. Знак "+".
- При $x < -2$ (например, $x=-3$): $(-3+2)(-3-1)(-3+1) = (-1) \cdot (-4) \cdot (-2) = -8 < 0$. Знак "-".

Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля (знак "+").

Ответ: $x \in (-2; -1) \cup (1; +\infty)$.

2) $(x^2 - 4x + 3)(x^2 + 3x + 2) \ge 0$

Разложим на множители каждый квадратный трехчлен.

Для $x^2 - 4x + 3 = 0$: по теореме Виета корни $x_1 = 1$, $x_2 = 3$. Тогда $x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)$.

Для $x^2 + 3x + 2 = 0$: по теореме Виета корни $x_1 = -1$, $x_2 = -2$. Тогда $x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2)$.

Неравенство принимает вид:

$(x - 1)(x - 3)(x + 1)(x + 2) \ge 0$

Корни: $x_1 = -2$, $x_2 = -1$, $x_3 = 1$, $x_4 = 3$. Так как неравенство нестрогое, все корни включаются в решение.

Отметим корни на числовой прямой и определим знаки на интервалах.

- $(-\infty; -2]$: знак "+"
- $[-2; -1]$: знак "- "
- $[-1; 1]$: знак "+"
- $[1; 3]$: знак "- "
- $[3; +\infty)$: знак "+"

Нам нужны промежутки, где выражение больше или равно нулю (знак "+").

Ответ: $x \in (-\infty; -2] \cup [-1; 1] \cup [3; +\infty)$.

3) $4x^3 - 25x < 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(4x^2 - 25) < 0$

Применим формулу разности квадратов:

$x(2x - 5)(2x + 5) < 0$

Найдем корни уравнения $x(2x - 5)(2x + 5) = 0$. Корни: $x_1 = -2.5$, $x_2 = 0$, $x_3 = 2.5$.

Отметим корни на числовой прямой и определим знаки на интервалах.

- $(-\infty; -2.5)$: знак "- "
- $(-2.5; 0)$: знак "+"
- $(0; 2.5)$: знак "- "
- $(2.5; +\infty)$: знак "+"

Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля (знак "-").

Ответ: $x \in (-\infty; -2.5) \cup (0; 2.5)$.

4) $\frac{x^2 - 4}{x^2 - 9} > 0$

Разложим числитель и знаменатель на множители:

$\frac{(x - 2)(x + 2)}{(x - 3)(x + 3)} > 0$

Найдем нули числителя: $x = 2$, $x = -2$.

Найдем нули знаменателя (точки разрыва): $x = 3$, $x = -3$. Эти точки не входят в решение.

Отметим все точки на числовой прямой: -3, -2, 2, 3. Определим знаки на интервалах.

- $(-\infty; -3)$: знак "+"
- $(-3; -2)$: знак "- "
- $(-2; 2)$: знак "+"
- $(2; 3)$: знак "- "
- $(3; +\infty)$: знак "+"

Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля (знак "+").

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (-2; 2) \cup (3; +\infty)$.

5) $\frac{x^2 - 3x}{x^2 - 8x + 7} \le 0$

Разложим числитель и знаменатель на множители:

Числитель: $x^2 - 3x = x(x - 3)$.

Знаменатель: $x^2 - 8x + 7$. Корни уравнения $x^2 - 8x + 7 = 0$ по теореме Виета $x_1 = 1$, $x_2 = 7$. Тогда $x^2 - 8x + 7 = (x-1)(x-7)$.

Неравенство принимает вид:

$\frac{x(x - 3)}{(x - 1)(x - 7)} \le 0$

Нули числителя (включаются в решение): $x=0$, $x=3$.

Нули знаменателя (не включаются в решение): $x=1$, $x=7$.

Отметим точки на числовой прямой: 0, 1, 3, 7. Определим знаки на интервалах.

- $(-\infty; 0]$: знак "+"
- $[0; 1)$: знак "- "
- $(1; 3]$: знак "+"
- $[3; 7)$: знак "- "
- $(7; +\infty)$: знак "+"

Нам нужны промежутки, где выражение меньше или равно нулю (знак "-").

Ответ: $x \in [0; 1) \cup [3; 7)$.

6) $\frac{2x^2 - 5x + 2}{x^2 - 3x - 4} \ge 0$

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: $2x^2 - 5x + 2$. Решим уравнение $2x^2 - 5x + 2 = 0$.
Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.
Корни $x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{5 \pm 3}{4}$. $x_1 = 2$, $x_2 = 0.5$.
Тогда $2x^2 - 5x + 2 = 2(x - 0.5)(x - 2) = (2x-1)(x-2)$.

Знаменатель: $x^2 - 3x - 4$. Корни уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$ по теореме Виета $x_1 = 4$, $x_2 = -1$. Тогда $x^2 - 3x - 4 = (x - 4)(x + 1)$.

Неравенство принимает вид:

$\frac{(2x - 1)(x - 2)}{(x - 4)(x + 1)} \ge 0$

Нули числителя (включаются в решение): $x=0.5$, $x=2$.

Нули знаменателя (не включаются в решение): $x=-1$, $x=4$.

Отметим точки на числовой прямой: -1, 0.5, 2, 4. Определим знаки на интервалах.

- $(-\infty; -1)$: знак "+"
- $(-1; 0.5]$: знак "- "
- $[0.5; 2]$: знак "+"
- $[2; 4)$: знак "- "
- $(4; +\infty)$: знак "+"

Нам нужны промежутки, где выражение больше или равно нулю (знак "+").

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup [0.5; 2] \cup (4; +\infty)$.