Страница 36 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

4.12. Решите неравенство:

1) $(x - 5)^2 > 0;$

2) $(x - 5)^2 \geq 0;$

3) $(x - 5)^2 < 0;$

4) $(x - 5)^2 \leq 0;$

5) $\left(\frac{x - 5}{x + 5}\right)^2 > 0;$

6) $\left(\frac{x - 5}{x + 5}\right)^2 \geq 0;$

7) $\frac{x + 5}{x + 5} > \frac{1}{2};$

8) $\frac{x^2 + 1}{x^2} \geq 0;$

9) $\frac{x^2}{x^2 + 1} \geq 0.$

Выражение $(x - 5)^2$ является квадратом действительного числа. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x - 5)^2 \ge 0$. Неравенство является строгим ($> 0$), поэтому мы должны исключить случай, когда выражение равно нулю. Выражение $(x - 5)^2$ равно нулю при $x - 5 = 0$, то есть при $x = 5$. Следовательно, неравенство выполняется для всех действительных чисел, кроме $x = 5$.
Ответ: $x \in (-\infty; 5) \cup (5; +\infty)$.

Выражение $(x - 5)^2$ является квадратом действительного числа. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (больше или равен нулю). Таким образом, неравенство $(x - 5)^2 \ge 0$ выполняется для любого действительного значения $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

Выражение $(x - 5)^2$ является квадратом действительного числа. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x - 5)^2 \ge 0$. Он никогда не может быть строго меньше нуля. Следовательно, у данного неравенства нет решений.
Ответ: нет решений.

Выражение $(x - 5)^2$ является квадратом действительного числа и всегда неотрицательно. Неравенство $(x - 5)^2 \le 0$ может выполняться только в одном случае: когда $(x - 5)^2 = 0$. Это происходит, когда $x - 5 = 0$, то есть $x = 5$.
Ответ: $x = 5$.

Выражение $(\frac{x - 5}{x + 5})^2$ является квадратом. Оно всегда неотрицательно, если определено. Неравенство строгое ($> 0$), поэтому нужно исключить значения $x$, при которых выражение равно нулю или не определено.
1. Выражение равно нулю, когда числитель равен нулю: $x - 5 = 0 \implies x = 5$.
2. Выражение не определено, когда знаменатель равен нулю: $x + 5 = 0 \implies x = -5$.
Следовательно, решение неравенства — это все действительные числа, кроме $x = 5$ и $x = -5$.
Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (-5; 5) \cup (5; +\infty)$.

Выражение $(\frac{x - 5}{x + 5})^2$ является квадратом и, следовательно, всегда неотрицательно, если оно определено. Неравенство $(\frac{x - 5}{x + 5})^2 \ge 0$ будет выполняться для всех значений $x$, при которых оно определено. Выражение не определено, когда знаменатель равен нулю: $x + 5 = 0 \implies x = -5$. Таким образом, решение — это все действительные числа, кроме $x = -5$.
Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (-5; +\infty)$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x + 5 \ne 0 \implies x \ne -5$.
Для всех $x$ из ОДЗ ($x \ne -5$), выражение в левой части $\frac{x + 5}{x + 5}$ равно 1. Подставим это значение в неравенство: $1 > \frac{1}{2}$. Это верное числовое неравенство. Следовательно, исходное неравенство справедливо для всех значений $x$ из области допустимых значений.
Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (-5; +\infty)$.

Найдем ОДЗ: знаменатель $x^2 \ne 0$, что означает $x \ne 0$.
Рассмотрим числитель и знаменатель дроби. Числитель $x^2 + 1$: так как $x^2 \ge 0$ для любого $x$, то $x^2 + 1 \ge 1$, то есть числитель всегда строго положителен. Знаменатель $x^2$: для любого $x \ne 0$, $x^2$ строго положителен. Отношение двух положительных чисел всегда положительно. Так как выражение всегда больше нуля, то оно всегда и больше или равно нулю. Следовательно, неравенство выполняется для всех $x$ из ОДЗ.
Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Рассмотрим знаменатель дроби: $x^2 + 1$. Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $x^2 + 1 \ge 1$. Знаменатель всегда положителен и никогда не равен нулю, поэтому ОДЗ — все действительные числа.
Рассмотрим числитель: $x^2 \ge 0$ для любого $x$. Дробь представляет собой отношение неотрицательного числа ($x^2$) к положительному числу ($x^2 + 1$). Такое отношение всегда будет неотрицательным. Следовательно, неравенство $\frac{x^2}{x^2 + 1} \ge 0$ выполняется для всех действительных чисел.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

4.13. Разложите на множители квадратный трёхчлен:

1) $x^2 + x - 6$;

2) $35 - 2x - x^2$;

3) $2x^2 + 9x - 18$.

Для разложения квадратного трёхчлена вида $ax^2 + bx + c$ на множители используется формула $a(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Корни находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$ — дискриминант.

1) $x^2 + x - 6$

Сначала решим квадратное уравнение $x^2 + x - 6 = 0$.
Коэффициенты: $a=1, b=1, c=-6$.
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$
$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$
Теперь подставим корни в формулу разложения:
$x^2 + x - 6 = 1 \cdot (x - (-3))(x - 2) = (x + 3)(x - 2)$
Ответ: $(x + 3)(x - 2)$

2) $35 - 2x - x^2$

Перепишем трёхчлен в стандартном виде: $-x^2 - 2x + 35$.
Решим уравнение $-x^2 - 2x + 35 = 0$. Для удобства умножим его на $-1$:
$x^2 + 2x - 35 = 0$
Коэффициенты: $a=1, b=2, c=-35$.
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-35) = 4 + 140 = 144$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-2 - \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 12}{2} = \frac{-14}{2} = -7$
$x_2 = \frac{-2 + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 12}{2} = \frac{10}{2} = 5$
Подставим корни в формулу разложения, учитывая, что у исходного трёхчлена $-x^2 - 2x + 35$ коэффициент $a=-1$:
$-x^2 - 2x + 35 = -1 \cdot (x - (-7))(x - 5) = -(x + 7)(x - 5)$
Внесем знак минус во вторую скобку: $(x + 7)(-(x-5)) = (x + 7)(5 - x)$.
Ответ: $(x + 7)(5 - x)$

3) $2x^2 + 9x - 18$

Решим квадратное уравнение $2x^2 + 9x - 18 = 0$.
Коэффициенты: $a=2, b=9, c=-18$.
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-18) = 81 + 144 = 225$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-9 - \sqrt{225}}{2 \cdot 2} = \frac{-9 - 15}{4} = \frac{-24}{4} = -6$
$x_2 = \frac{-9 + \sqrt{225}}{2 \cdot 2} = \frac{-9 + 15}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$
Подставим корни в формулу разложения:
$2x^2 + 9x - 18 = 2(x - (-6))(x - \frac{3}{2}) = 2(x + 6)(x - \frac{3}{2})$
Чтобы получить целые коэффициенты в скобках, умножим множитель $2$ на вторую скобку:
$(x + 6) \cdot 2(x - \frac{3}{2}) = (x + 6)(2x - 3)$
Ответ: $(x + 6)(2x - 3)$