Страница 33 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Что называют областью определения уравнения $f(x) = g(x)$?

1. Областью определения уравнения $f(x) = g(x)$ (также известной как область допустимых значений или ОДЗ) называют множество всех значений переменной $x$, при которых обе части уравнения — и левая ($f(x)$), и правая ($g(x)$) — имеют смысл, то есть определены.

Чтобы найти область определения уравнения, необходимо найти область определения выражения $f(x)$ (обозначим её $D(f)$) и область определения выражения $g(x)$ (обозначим её $D(g)$). Областью определения самого уравнения будет являться пересечение этих двух множеств, то есть все значения $x$, которые входят и в $D(f)$, и в $D(g)$ одновременно. Математически это записывается как пересечение множеств: $D(f) \cap D(g)$.

Рассмотрим пример. Для уравнения $\sqrt{x+2} = \frac{1}{x}$:

Выражение в левой части, $f(x) = \sqrt{x+2}$, определено, когда подкоренное выражение неотрицательно, то есть $x+2 \ge 0$, откуда $x \ge -2$. Область определения $D(f) = [-2; +\infty)$.

Выражение в правой части, $g(x) = \frac{1}{x}$, определено, когда знаменатель не равен нулю, то есть $x \ne 0$. Область определения $D(g) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Область определения всего уравнения — это множество значений $x$, удовлетворяющих обоим условиям одновременно: $x \ge -2$ и $x \ne 0$. Таким образом, ОДЗ уравнения: $x \in [-2; 0) \cup (0; +\infty)$.

Ответ: Областью определения уравнения $f(x) = g(x)$ называется множество всех значений переменной $x$, при которых определены (имеют смысл) обе части уравнения — и выражение $f(x)$, и выражение $g(x)$. Это множество является пересечением областей определения функций $f(x)$ и $g(x)$.

2. Какие уравнения называют равносильными?

2. Какие уравнения называют равносильными?

Равносильными (или эквивалентными) называют два или более уравнения, множества корней (решений) которых полностью совпадают. Это означает, что каждый корень первого уравнения является корнем второго, и наоборот, каждый корень второго уравнения является корнем первого.

Если уравнения не имеют корней, то их множества решений также совпадают (оба являются пустыми множествами), и такие уравнения тоже считаются равносильными.

Примеры равносильных уравнений:

• Уравнения $x + 2 = 5$ и $3x = 9$ равносильны.

  Корень первого уравнения: $x = 5 - 2$, то есть $x = 3$. Множество решений: $\{3\}$.

  Корень второго уравнения: $x = 9 / 3$, то есть $x = 3$. Множество решений: $\{3\}$.

  Так как множества решений одинаковы, уравнения равносильны.

• Уравнения $x^2 = 25$ и $|x| - 5 = 0$ равносильны.

  Корни первого уравнения: $x_1 = 5$, $x_2 = -5$. Множество решений: $\{-5, 5\}$.

  Корни второго уравнения: $|x| = 5$, откуда $x_1 = 5$, $x_2 = -5$. Множество решений: $\{-5, 5\}$.

  Множества решений совпадают, значит, уравнения равносильны.

• Уравнения $x^2 = -1$ и $0 \cdot x = 5$ равносильны.

  Первое уравнение не имеет действительных корней. Множество решений пустое: $\emptyset$.

  Второе уравнение не имеет решений, так как нет такого числа, которое при умножении на ноль даст 5. Множество решений пустое: $\emptyset$.

  Поскольку оба уравнения не имеют корней, они равносильны.

Пример неравносильных уравнений:

Уравнения $x^2 = 4x$ и $x = 4$ не являются равносильными.

Решим первое уравнение: $x^2 - 4x = 0 \implies x(x-4) = 0$. Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 4$. Множество решений: $\{0, 4\}$.

Корень второго уравнения: $x = 4$. Множество решений: $\{4\}$.

Множества решений не совпадают. Второе уравнение было получено из первого путем деления на $x$, что привело к потере корня $x=0$. Такое преобразование не является равносильным.

Для сохранения равносильности при решении уравнений используют равносильные преобразования, например:

1. Перенос любого члена уравнения из одной части в другую с противоположным знаком.
2. Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же число, не равное нулю.

Ответ: Равносильными называют уравнения, у которых множества всех их корней совпадают. Если оба уравнения не имеют корней, они также считаются равносильными.

3. С помощью каких преобразований уравнения можно получить уравнение, равносильное данному?

Чтобы получить уравнение, равносильное (эквивалентное) данному, можно выполнять преобразования, которые не изменяют множество корней исходного уравнения. Равносильными называются уравнения, имеющие одинаковые множества решений (или не имеющие их вовсе).

К таким преобразованиям относятся следующие:

1. Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую с изменением знака

   Это преобразование основано на свойстве равенств: если к обеим частям верного равенства прибавить или из обеих частей вычесть одно и то же число (или выражение), то получится верное равенство. Формально, уравнение $A(x) = B(x)$ равносильно уравнению $A(x) - B(x) = 0$.
   Например, уравнение $3x + 5 = 10$ равносильно уравнению $3x = 10 - 5$. Перенос слагаемого $5$ в правую часть равносилен вычитанию $5$ из обеих частей уравнения. Множество корней не изменяется.

2. Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же отличное от нуля число или выражение

   Уравнение $A(x) = B(x)$ равносильно уравнению $A(x) \cdot C = B(x) \cdot C$ (или $A(x) / C = B(x) / C$) при условии, что $C$ — это число, не равное нулю ($C \neq 0$), или выражение, которое определено и не обращается в ноль на области допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения.
   Например, уравнение $0.5x = 4$ равносильно уравнению $x = 8$ (обе части умножены на 2).
   Однако, решая уравнение $x^2 = 2x$, нельзя просто разделить на $x$, так как это привело бы к потере корня $x=0$. Правильное преобразование — перенос слагаемого: $x^2 - 2x = 0$, а затем разложение на множители: $x(x-2)=0$.

3. Тождественные преобразования одной из частей уравнения

   Можно заменять любую из частей уравнения (левую или правую) тождественно равным ей выражением, не изменяя при этом область определения уравнения. К таким преобразованиям относятся: раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых, применение формул сокращенного умножения, разложение на множители и т.д.
   Например, в уравнении $(x+2)^2 - x^2 = 10$ можно преобразовать левую часть: $(x^2 + 4x + 4) - x^2 = 10$, что приводит к равносильному уравнению $4x + 4 = 10$.

4. Применение обратимой функции к обеим частям уравнения

   Если функция $y=f(t)$ является строго монотонной (всегда возрастает или всегда убывает), то уравнение $g(x) = h(x)$ равносильно уравнению $f(g(x)) = f(h(x))$.

   Примерами таких преобразований являются:

   • Возведение обеих частей уравнения в нечетную степень. Например, уравнение $\sqrt[3]{x} = 2$ равносильно уравнению $(\sqrt[3]{x})^3 = 2^3$, то есть $x = 8$.
   • Логарифмирование обеих частей уравнения по одному и тому же основанию, если обе части положительны. Например, если $g(x) > 0$ и $h(x) > 0$, то уравнение $g(x) = h(x)$ равносильно уравнению $\log_a(g(x)) = \log_a(h(x))$ при $a > 0, a \neq 1$.

   Преобразования, которые могут привести к неравносильному уравнению (и требуют проверки корней), включают возведение обеих частей в четную степень. Это преобразование является равносильным только при условии неотрицательности обеих частей исходного уравнения. В противном случае оно может добавить посторонние корни. Например, уравнение $x=2$ имеет один корень, а уравнение $x^2 = 4$, полученное возведением в квадрат, имеет два корня: $x=2$ и $x=-2$.

Ответ: Для получения равносильного уравнения можно использовать следующие преобразования:

• Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую с противоположным знаком.
• Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же число (или выражение), которое отлично от нуля на всей области допустимых значений уравнения.
• Выполнение тождественных преобразований (раскрытие скобок, приведение подобных и т.д.) в левой или правой части уравнения без изменения его области определения.
• Применение к обеим частям уравнения строго монотонной функции (например, возведение в нечетную степень или логарифмирование положительных частей).

4. Какое уравнение называют следствием данного уравнения?

Уравнение (2) называют следствием уравнения (1), если множество корней уравнения (1) является подмножеством множества корней уравнения (2). Иначе говоря, каждый корень уравнения (1) должен быть также и корнем уравнения (2).

При этом уравнение-следствие (2) может иметь корни, которые не являются корнями исходного уравнения (1). Такие корни называют посторонними. Поэтому при решении уравнений методом перехода к следствию обязательным этапом является проверка всех найденных корней путем их подстановки в исходное уравнение.

Переход к уравнению-следствию часто возникает при выполнении следующих преобразований:

• Возведение обеих частей уравнения в четную степень.
• Освобождение от знаменателя в дробно-рациональных уравнениях.
• Применение формул, расширяющих область определения (например, некоторых тригонометрических тождеств).

Пример:

Рассмотрим уравнение $\sqrt{x+2} = x$.

Для его решения возведем обе части в квадрат. Это преобразование приводит к уравнению-следствию:

$(\sqrt{x+2})^2 = x^2$

$x+2 = x^2$

Перенесем все члены в одну часть и получим квадратное уравнение:

$x^2 - x - 2 = 0$

Это уравнение является следствием исходного. Найдем его корни, например, по теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 1$

$x_1 \cdot x_2 = -2$

Корнями являются $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Теперь выполним проверку найденных корней, подставив их в исходное уравнение $\sqrt{x+2} = x$.

Проверка для $x_1 = 2$:

$\sqrt{2+2} = \sqrt{4} = 2$

$2 = 2$

Равенство верное, значит $x=2$ является корнем исходного уравнения.

Проверка для $x_2 = -1$:

$\sqrt{-1+2} = \sqrt{1} = 1$

$-1$

Получаем $1 = -1$, что является неверным равенством. Следовательно, $x=-1$ — это посторонний корень, который появился в результате возведения в квадрат.

Таким образом, множество корней исходного уравнения — $\{2\}$, а множество корней уравнения-следствия — $\{-1, 2\}$. Так как $\{2\} \subset \{-1, 2\}$, уравнение $x^2 - x - 2 = 0$ является следствием уравнения $\sqrt{x+2} = x$.

Ответ: Уравнением-следствием для данного уравнения называют такое уравнение, которому удовлетворяют все корни данного уравнения. При этом уравнение-следствие может иметь и другие, посторонние корни, не являющиеся корнями исходного уравнения.

5. Какие неравенства называют равносильными?

Два неравенства с одной переменной называют равносильными (или эквивалентными), если множества их решений совпадают. Это означает, что любое число, являющееся решением первого неравенства, также является решением второго, и наоборот, любое решение второго является решением первого.

Если оба неравенства не имеют решений (их множество решений – пустое множество, $\emptyset$), то они также считаются равносильными.

Например, неравенства $3x - 6 > 0$ и $x > 2$ являются равносильными. Проверим это, найдя множества их решений:

• Для первого неравенства $3x - 6 > 0$, перенесем $-6$ в правую часть: $3x > 6$. Затем разделим обе части на положительное число 3, сохраняя знак неравенства: $x > 2$. Множество решений этого неравенства — интервал $(2; +\infty)$.
• Второе неравенство $x > 2$ уже представлено в решенном виде, и его множество решений — также интервал $(2; +\infty)$.

Поскольку множества решений обоих неравенств совпадают, они равносильны. Равносильность обозначается специальным знаком $\Leftrightarrow$, то есть можно записать: $3x - 6 > 0 \Leftrightarrow x > 2$.

Другой пример: неравенства $x^2 < -4$ и $|x| < -1$ также равносильны. Ни одно из них не имеет действительных решений, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным, и модуль действительного числа также не может быть отрицательным. Множество решений для обоих неравенств — пустое множество ($\emptyset$), поэтому они равносильны.

При решении неравенств часто используют равносильные преобразования — действия, которые заменяют исходное неравенство другим, более простым, но равносильным ему. Основные такие преобразования:

• Перенос любого слагаемого из одной части неравенства в другую с противоположным знаком.
• Умножение или деление обеих частей неравенства на одно и то же положительное число (или выражение, которое всегда положительно). При этом знак неравенства сохраняется.
• Умножение или деление обеих частей неравенства на одно и то же отрицательное число (или выражение, которое всегда отрицательно). При этом знак неравенства меняется на противоположный.

Ответ: Равносильными называют два неравенства, если они имеют одинаковые множества решений. В частности, два неравенства, не имеющие решений, также являются равносильными.

6. С помощью каких преобразований неравенства можно получить неравенство, равносильное данному?

Равносильное (или эквивалентное) неравенство — это неравенство, которое имеет то же самое множество решений, что и исходное. Для получения неравенства, равносильного данному, можно выполнять следующие преобразования, которые не приводят к потере или приобретению посторонних корней.

1. Перенос слагаемых из одной части неравенства в другую.

   Любой член неравенства можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный. Это преобразование равносильно прибавлению к обеим частям неравенства одного и того же выражения.

   Например, неравенство $f(x) + c > g(x)$ равносильно неравенству $f(x) > g(x) - c$.

2. Умножение или деление обеих частей неравенства на положительное число или выражение.

   Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же число $c > 0$ (или на выражение $h(x)$, которое положительно при всех допустимых значениях $x$). При этом знак неравенства сохраняется.

   Например, если $c > 0$, то неравенство $f(x) < g(x)$ равносильно неравенству $c \cdot f(x) < c \cdot g(x)$.

3. Умножение или деление обеих частей неравенства на отрицательное число или выражение.

   Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же число $c < 0$ (или на выражение $h(x)$, которое отрицательно при всех допустимых значениях $x$). При этом знак неравенства необходимо изменить на противоположный ($>$ на <, $\ge$ на $\le$ и т.д.).

   Например, если $c < 0$, то неравенство $f(x) < g(x)$ равносильно неравенству $c \cdot f(x) > c \cdot g(x)$.

4. Применение строго монотонной функции к обеим частям неравенства.

   Это общее правило, включающее в себя, например, возведение в степень и логарифмирование.

   • Если функция $y=h(t)$ является строго возрастающей, то после ее применения к обеим частям неравенства знак неравенства сохраняется. Например, возведение в нечетную степень, логарифмирование по основанию больше 1.

     Если $f(x) > g(x)$, то $(f(x))^{3} > (g(x))^{3}$.

     Если $f(x) > g(x) > 0$ и $a > 1$, то $\log_a(f(x)) > \log_a(g(x))$.

   • Если функция $y=h(t)$ является строго убывающей, то после ее применения к обеим частям неравенства знак неравенства меняется на противоположный. Например, логарифмирование по основанию от 0 до 1.

     Если $f(x) > g(x) > 0$ и $0 < a < 1$, то $\log_a(f(x)) < \log_a(g(x))$.

5. Возведение обеих неотрицательных частей неравенства в четную степень.

   Если обе части неравенства $f(x)$ и $g(x)$ неотрицательны на всей области допустимых значений, то их можно возвести в четную натуральную степень, сохранив знак неравенства.

   Например, если $f(x) > g(x) \ge 0$, то неравенство равносильно $(f(x))^2 > (g(x))^2$. Если это условие не выполняется, преобразование не является равносильным.

Ответ:

Для получения неравенства, равносильного данному, можно использовать следующие преобразования:

• перенос слагаемых из одной части неравенства в другую с изменением их знака на противоположный;
• умножение или деление обеих частей неравенства на одно и то же положительное число (или выражение), сохраняя знак неравенства;
• умножение или деление обеих частей неравенства на одно и то же отрицательное число (или выражение), изменяя знак неравенства на противоположный;
• применение к обеим частям строго возрастающей функции (например, возведение в нечетную степень) с сохранением знака неравенства;
• применение к обеим частям строго убывающей функции с изменением знака неравенства на противоположный;
• возведение обеих неотрицательных частей неравенства в четную степень с сохранением знака.

7. Какое неравенство называют следствием данного неравенства?

Неравенство $p(x) > q(x)$ называют следствием неравенства $f(x) > g(x)$, если каждое решение неравенства $f(x) > g(x)$ является также решением неравенства $p(x) > q(x)$.

Иными словами, если обозначить множество решений первого (данного) неравенства буквой $A$, а множество решений второго неравенства (следствия) буквой $B$, то второе неравенство является следствием первого при условии, что множество $A$ является подмножеством множества $B$. Математически это записывается как $A \subseteq B$.

Например, рассмотрим неравенство $x > 5$. Множеством его решений является интервал $A = (5, +\infty)$. Возьмем другое неравенство, $x > 2$. Множество его решений — это интервал $B = (2, +\infty)$. Так как любое число, которое больше 5, автоматически является и большим 2, то каждое решение первого неравенства является решением второго. Интервал $(5, +\infty)$ полностью входит в интервал $(2, +\infty)$, то есть $A \subseteq B$. Следовательно, неравенство $x > 2$ является следствием неравенства $x > 5$.

Рассмотрим еще один пример. Неравенство $x^2 > 9$ является следствием неравенства $x > 3$. Множество решений неравенства $x > 3$ — это $A = (3, +\infty)$. Множество решений неравенства $x^2 > 9$ (что эквивалентно $|x| > 3$) — это $B = (-\infty, -3) \cup (3, +\infty)$. Поскольку $(3, +\infty) \subseteq (-\infty, -3) \cup (3, +\infty)$, то $x^2 > 9$ — это следствие $x > 3$. В данном случае множество решений следствия шире, чем у исходного неравенства, оно включает также интервал $(-\infty, -3)$.

Переход к неравенству-следствию — это один из приемов решения неравенств. Однако, поскольку множество решений следствия может быть шире, чем у исходного неравенства, такой переход может привести к появлению посторонних решений. Поэтому при использовании этого метода обязательна проверка всех найденных решений путем их подстановки в исходное неравенство.

Ответ: Следствием данного неравенства называют такое неравенство, которому удовлетворяет любое решение данного неравенства.